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Die auf die Methode der kleinsten Quadrate sich stützende Wahr- 

 scheinlichheitsrechnung liefert den Beiveis: dass ebenso ivie für eine 

 Variationsreihe, die aus ziuei ganz symmetrisch angeordneten Hälften 

 der einzelnen Wertgrössen (Glieder, Kategorieen der Wertgrösse) zu- 

 sammengesetzt ist, eine bestimmte centralstehende Wertgrösse (tvahrer 

 Mittehvert) vorhanden sein muss, ebenso eine solche centralstehende 

 Wertgrösse auch in Bezug auf die einzelnen Differenzen (Äb- 

 tveichungen) jener einzelnen Wertgrössen vorhanden sein muss. Es 

 müssen demzufolge jene Wertgrössen der Differenzen (Abweichungen), 

 welche kleiner sind als die centralstehende Wertgrösse der Differenzen, 

 ebenso zahlreich (häufig) sein als die, welche grösser sind. AVollen 

 wir diese centralstehende Wertgrösse der Differenzen (Abweichungen), 

 welche in der Mathematik den Namen: „wahrscheinlicher Fehler" 

 führt 1) und welche wir für die Variationsreihen der Schädelserien, nach 

 Lexis, als die wahrscheinliche Abweichung bezeichnen. Die grosse Be- 

 deutung der wahrscheinlichen Abweichung für eine Variationsreihe be- 

 steht darin, dass man 1 gegen 1 wetten kann: dass es gleich wahr- 

 scheinlich sei, dass ihre Wertgrösse ebenso oft nicht erreicht ivird, als 

 sie überschritten iuird; und dass, rvenn man sie zur Wertgrösse der 

 arithmetischen Mittelzahl hinzuaddiert und von ihr subtrahiert, hier- 

 durch jene zwei Grenzen bestimmt werden Tcönnen, innerhalb tvelcher 

 die Hälfte der Summe aller einzelnen Differenzen der Wertgrössen 



(der Glieder, Kategorieen der Wertgrössen) vorkommt \—^], so dass 



die andere Hälfte der Differenzen ausserhalb dieser Grenzen in der 

 Variationsreihe verteilt ist. 



*) Der Name „wahrscheinlicher Fehler" in der Mathematik stammt von den 

 astronomischen Messungen. Wird irgend eine astronomische Messung ausgeführt 

 und diese Messung der Keihe nach wiederholt, so ergehen sich immer Differenzen 

 in den Messungsresnltaten. Man führt sie auf die accidentellen Fehler der Mess- 

 ungen zurück, die, wie genau auch das Messungsinstrument und wie geschickt auch 

 die messende Person sei, unvermeidlich sind. Bei den astronomischen Messungen 

 hat sich die höchst wichtige Thatsache ergeben, dass bei Wiederholungen der 

 Messung die kleineren Differenzen (d. h. Fehler) in den Messungsresultaten viel 

 häufiger sind als die grösseren, i;nd dass diese Differenzen (also Fehler) immer 

 zwischen gewissen Grenzen sich bewegen. 



