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durch 0. Hesse 1 ) eine analytische und durch R. Sturm 2 ) eine geometrische 

 Lösuno-. Es gibt drei solcher Punktepaare. Beide Löungen sind praktisch 

 kaum brauchbar, denn die Bildung der in Form einer dreireihigen Determi- 

 nante erscheinenden Gleichung 3. Grades bei 0. Hesse setzt die Ausrechnung 

 von 14 siebenreihigen Determinanten voraus, während R. Sturm die gesuchten 

 Punkte als Schnittpunkte zweier Kurven 3. Ordnung mit sechs bestimmten 

 Schnittpunkten findet, welch letztere aber erst durch die sechsmalige Wieder- 

 holung der Konstruktion des vierten Schnittpunktes zweier Kegelschnitte mit 

 drei bekannten Schnittpunkten ermittelt werden müssen. In dem wichtigen 

 Falle, dass die Objektpunkte alle genau oder nahezu in einer Ebene liegen, 

 ist die Bestimmung auf diesem Wege unmöglich, da dann irgend zwei ent- 

 sprechende Bildpunkte die definierende Eigenschaft der Kernpunkte haben. 

 Ist einer der beiden Kernpunkte bekannt, so ist der zweite mittels fünf Bild- 

 punktpaaren jederzeit linear bestimmt. Die Konstruktion der Kernpunkte 

 ohne Hinzuziehung der inneren Orientierung wird dann sehr einfach, wenn 

 die Bilder von vier Objektpunkten, P n P 2 , P 3 , P 4 , die in einer Ebene liegen 

 und noch von zwei weiteren, P 5 , P 6 , bekannt sind. 3 ) Sucht man nämlich in 

 der Ebene E" einen Punkt $ 5 ", so dass die P'igur P", P 2 ", P 3 ", P 4 " Q 5 " pro- 

 jektiv zu P/ P 2 ' P 3 ' P/ P 5 ' ist, so geht die Verbindungslinie P 5 " Q 5 " durch den 

 Kernpunkt 0/', sie ist nämlich das Bild von X P 5 . Gleicherweise ergibt sich 

 in P 6 " Q 6 " ein zweiter Ort für 0,". Auf ähnlichem Wege findet man 2 '. 

 Leider sind nur selten die Bedingungen für eine zweckentsprechende Anwendung 

 dieses Verfahrens gegeben. 



Werden zur Aufsuchung der Kernpunkte die Elemente der 

 inneren Orientierung (Hauptpunkt und Bildweite) benützt, so legt man 

 folgende Definition der Kernpunkte zu gründe: Die Ebenenbüschel, welche die 

 Verbindungslinien X 2 ' bezw. 0. 2 0" der Kernpunkte mit den zugehörigen 

 perspektivischen Zentren als Axen haben und deren entsprechende Ebenen 

 nach Bildern P/, P 2 ' . . . bezw. P x ", P 2 " . . . derselben Punkte laufen, sind 

 kongruent. Zur Festlegung der Kernpunkte genügt hier bereits die Kenntnis 

 der Bilder von fünf Punkten. Es schliessen nämlich die zugehörigen Ebenen 

 in den Büscheln vier unabhängige Winkel ein, deren Gleichsetzung in beiden 

 Büscheln gerade so viel Gleichungen liefert als Koordinaten zur Festlegung 



! ) Die kubische Gleichung, von welcher die Lösung eines Problems der Homographie von M. Chasles 

 abhängt. J. f. reine u. angew. Math., Bd. 62, S. 188, Ges. Werke, S. 507. 



2 ) Ueber das Problem der Projektivität. Math. Annalen, Bd. 1, S. 533. 



3 ) Die geometrischen Grundlagen der Photogrammetrie. Jahresbericht des Deutschen Math. Ver., 

 Bd. 6, S. 10. 



