231 



der Kernpunkte in ihren Bildebenen nötig sind. Die sich auf diesem Wege 

 ergebenden vier Gleichungen sind sehr verwickelt, sie steigen in jeder der 

 Koordinaten bis zum vierten, insgesamt bis zum achten Grade an. 1 ) Hingegen 

 wird nun die Bestimmung der Kernpunkte nicht mehr illusorisch, wenn das 

 Objekt eben ist. Es sind nämlich in diesem Falle die beiden Strahlenbündel, 

 die von den Centren der Photographien nach den entsprechenden Bildpunkten 

 gehen, projektiv und die Aufsuchung der Kernpunkte kommt darauf hinaus, 

 in zwei projektiven Strahlenbündeln die entsprechenden kongruenten Ebenen- 

 büschel (deren Axen eben nach den Kernpunkten laufen) zu ermitteln. Zu 

 diesem Zwecke bringt man die Strahlenbündel in Perspektive Lage, wozu man 

 die Kenntnis von 4 Paren entsprechender Strahlen d. h. von vier Paren ent- 

 sprechender Bildpunkte braucht. Die Lösung dieser Aufgabe gibt H. Schröter. 2 ) 

 Sie führt wiederum auf eine Gleichung dritten Grades, durch welche die ent- 

 sprechenden Tripel unter einander senkrechter Strahlen und Ebenen beider 

 Büschel definiert werden. In entsprechenden Ebenen jener Tripel liegen die 

 gesuchten Axen. Ihre Konstruktion oder Berechnung ist noch überaus mühsam 

 und entspricht gar nicht den praktischen Bedürfnissen. 



Ganz ähnlich liegen die Verhältnisse bei einem nichtebenen Objekt, von 

 dem aber bekannt ist, dass vier seiner Punkte in einer Ebene liegen. Selbst 

 die Aufgabe, den Kernpunkt der zweiten Ebene zu finden, wenn jener der 

 ersten Ebene bekannt ist, lässt hier wohl keine direkte Lösung zu. Es 

 genügt zwar die Kenntnis dreier entsprechender Punktepare, aber die Auf- 

 findung des zweiten Kernpunktes führt dann auf das, wie es scheint, bisher 

 noch nicht gelöste Pothenot'sche Problem auf der Kugel. Denkt 

 man sich nämlich um die beiden perspektivischen Zentra Kugeln vom Radius 

 Eins gelegt und schneidet man sie mit den Strahlen nach den Bild- und 

 Kernpunkten, so sind die sphärischen Winkel einander gleich, unter denen 



1 ) Dass die Aufsuchung der Kernpunkte auf diesem Wege nicht minder schwierig, wie auf dem 

 früheren ist, lässt auch folgende Betrachtung erkennen. Denkt man sich die beiden aus fünf Ebenen 

 bestehenden kongruenten Büschel so zur Deckung gebracht, dass auch die perspektivischen Centren sich 

 decken und hierauf die ganze Figur durch eine um den gemeinsamen Punkt der letzteren geschlagene 

 Kugel geschnitten, so entstehen auf der Oberfläche derselben zwei perspektivische Kugelfünfecke, für 

 welche die geodätischen Verbindungslinien entsprechender Punkte sich schneiden. Umgekehrt kommt 

 auch die Aufsuchung der Kernpunkte darauf hinaus, zwei sphärische Fünfecke auf der Kugel perspektivisch 

 zu legen. Lässt man die Kugel in die Ebene ausarten, so haben wir den Specialfall, zwei ebene Fünfecke 

 in der Ebene perspektivisch zu legen. Diese Aufgabe kommt aber auf die Chasles'sche (S. 229 u. 230) 

 zurück, wenn man die beiden Fünfecke durch Hinzunahme der imaginären Kreispunkte zu Siebenecken 

 ergänzt und die projektive Definition der Winkel einführt. Es ist hiernach die Bestimmung der Kern- 

 punkte aus fünf Punkteparen mit Hinzuziehung der inneren Orientierungselemente theoretisch sicher 

 nicht einfacher, als jene aus sieben Punkteparen ohne die letztere. 



2 ) Theorie der Oberflächen 2. Ordnung. Leipzig 1880, S. 377 u. 384. 



Abh. d. II. Kl. d. K. Ak. d. Wiss. XXII. Bd. II. Abt. 30 



