237 



Wegen der Verschiedenheit der Winkel %j und /," liegen die beiden Visier- 

 strahlen nicht genau in einer Ebene. Ihren kürzesten Abstand k t findet man 



aus der Formel: ,, 



k = h (Xi — Xi ) 4) 



Der Mittelpunkt dieses kürzesten Abstandes wurde bei Aufstellung des 

 Formelsystemes 3 als Punkt P, angenommen. 



Anstatt auf die eben auseinandergesetzte Weise die Koordinaten der Ob- 

 jektpunkte zu berechnen, kann man noch ein anderes Verfahren einschlagen, 

 wobei man die Ausgleichungsrechnung zur schärferen Bestimmung der Kern- 

 punkte vermeidet und statt derselben eine Schlussausgleichung einführt, für 

 welche sich fertige Formeln angeben lassen. 



Auf Grund der genäherten Koordinaten der Kernpunkte führt man die 

 Berechnung der Koordinaten der Objektpunkte und der kürzesten Abstände 

 der zugehörigen Visierstrahlen mittels der soeben entwickelten Formeln 3 und 4 

 durch. Dann dreht man die beiden Visierstrahlenbündel um die Punkte O x 

 und 2 solange, bis die Summe der Quadrate der kürzesten Abstände 

 entsprechender Visierstrahlen ein Minimum wird. 



Zur Ableitung der entsprechenden Formeln bedienen wir uns mit Vorteil 

 der Methoden der Vektoranalysis. Der Vektor von O x aus auf den Visierstrahl 

 nach P t gerechnet bis zum Fusspunkt des kürzesten Abstandes der ent- 

 sprechenden Visierstrahlen sei 21,., der entsprechende Vektor von 2 aus 33,. 

 Der Drehvektor *) des Visierstrahlenbündels von L aus sei U, jener des ent- 

 sprechenden von 2 aus 33. Die Faktoren des inneren (skalaren) Produkts 

 mögen durch den Punkt als Multiplikationszeichen getrennt werden, während 

 für das äussere (vektorielle) Produkt das Kreuz verwendet wird. 2 ) Die um 

 die Vektoren U und 23 gedrehten Vektoren 21; und 33,. sind dann : 21,. + 21, • X U 

 und 33, -)- 33,. X 35. Ist (S der Vektor von O x nach 0. 2 , so ist der kürzeste 

 Abstand der Visierstrahlen nach dem Punkte P,: 



S + 33,. + 33, X 33 — 21,. — 21, x U 



Die Summe der Quadrate dieser kürzesten Abstände soll ein Minimum 

 sein, also: 



S = 2i ((5 + 33, + 33, x 33 — 21, — 21, X U) 2 = Minmio 3 ) 5) 



Die Aenderung dieses Ausdruckes bei Aenderung von 11 um dU. und von 

 33 um dSß muss daher verschwinden. Das gibt die Bedingungsgleichungen: 



x ) Unter Drehvektor verstehen wir eine gerichtete Grösse, welche die Richtung der Drehaxe und 

 die (in unserm Falle kleine) Länge gleich der Grösse des Drehwinkels hat. 



2 ) Vergl. Wilson-Gibbs: Vektor-Analysis. New- York 1901. 



3 ) Die Summe erstreckt sich auf die Zahl n der zur Bestimmung benutzten Objektpunkte. 



