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wir nun der Rekonstruktion eine Parallelverschiebung um den Vektor £, so 

 ist der Abstand entsprechender Punkte durch 21, — (33, -f~ £) gegeben. Die 

 Summe der Quadrate der Abstände ist dann: 



S= 2 (%,-($< +W 15) 



Damit S ein Minimum wird, muss für alle Werte von r?X folgender Aus- 

 druck verschwinden: 



— 22(% — 33,— £)-d£ = _2r/£.^(2l,-23 i -a:) = 16) 



woraus folgt: 



2(% — 33,-X) = = -2-21, — ^21, — ^23,-«*, 

 wo » die Zahl der verglichenen Punkte ist. Es wird also: 



X = ' — ' 17) 



n n 



.^21 .Z23. 



und sind die Vektoren nach den Schwerpunkten der verglichenen 



Punkthaufen und der Vektor £ entspricht der Verbindungslinie der Schwer- 

 punkte beider Haufen. Wird der zweite Haufen um diese Strecke verschoben, 

 so decken sich die beiden Schwerpunkte. 



Nun wird der rekonstruierte Punkthaufen durch Drehung um den ge- 

 meinsamen Schwerpunkt und Masstabänderung mit dem Originale mög- 

 lichst vereinigt. Zu diesem Zwecke beziehen wir ihn auf ein Koordinatensystem. 

 Der Vektor 23,- habe im alten System die Koordinaten X, Y { Z n der Vektor 21,: x, y t z t . 

 Im neuen System seien die Koordinaten: von 35,.; £,■== « n X ( -\- « 12 Y, -j- « 13 ür,; 



Vi = «21 ^. + «22 Y ( -f- ß 23 Z, ; if = «3i X, + «3, Y t -4- «33 Z { . 1 8) 



Bringen wir das neue Koordinatensystem durch Drehung mit dem alten 

 zur Deckung, so sind die Koordinatendifferenzen zwischen dem Endpunkt des 

 gedrehten Vektors 33,- und jenem des unveränderten Vektor % folgende: 



«ii X, -4- « 12 Y t + a 13 Z t — x f ; « 21 X,. + « 22 7, -j- « 23 Z, — ^ ; « 31 X,. + « 33 F, -4- « 33 Z ( — 0,. 



Dabei sollen unter den Grössen « n . . . « 33 nicht direkt die Richtungs- 

 cosinus der Axen gegeneinander darstellen, sondern diese Grössen mit einem 

 konstanten Faktor multipliciert, welcher dann gleichzeitig der Masstabänderung 

 der Vektoren 33,. Rechnung trägt. 



Wir bilden nun die Summe der Quadrate obenstehender Differenzen, um 



das Quadrat der Entfernung entsprechender Punkte nach der Drehung zu 



erhalten und summieren über alle Punkte des Haufens. Die Gesammtsumme 



S soll dann zu einem Minimum werden. 



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