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20) 



s=2 ((«?, + 4, + «!,) z; + («j 2 + «l + «40 r? + («?■ + 4, + 4.) ^J - 



— 2 tx M X, ./ , — 2 « 12 1', a* — 2 ct ls Z, j-, — 2 ct 81 X, & — 2 a 22 Z, //, — 2 a 23 Z, y, — 



— 2 a 3l X, g t — 2 a 32 Y, g t — 2 a 33 Z, g ( + x\ + //; + *f) = Minimo 1 9) 



Statt der neun Grössen a u . .. . a 33 führt man nun die vier unabhängigen 

 Quaternionengrössen a, b, c, d, welche mit jenen folgendermassen zusammen- 

 hängen: *) 



a n = d 2 — er — b 2 — c 2 a 12 = 2(ab — cd) a 13 = 2(ac — bd) 



a. n = 2 (a b + c d) a 22 = d 2 — a 2 -\-b 2 — c 2 a 23 = 2 (b c — a d) 



a 3 , = 2 (a c — b d) « 32 = 2 (b c -f- « d) a 33 = <£ 2 — a 2 — fr 2 -J- c 2 



Dieselben haben eine einfache geometrische Bedeutung. Sind a, ß, y die 

 Richtungwinkel der Drehaxe und ist co der Drehwinkel jener Rotation, welche 

 zuszmmen mit einer Streckung im Verhältnis T ': 1 die alte Figur der 39, in 

 die neue überführt, so drücken sich die Quaternionengrössen folgendermassen 

 durch die a, ß, y, T, o> aus: 



a = Y T sin -^ cos a, b = \/T sin -^ cos /i, c = \' T sin -^ cos y, d — \/T cos -|*, I 



T = a 2 + ö 2 + c 2 + d 2 . 1 



In den Quaternionengrössen geschrieben ergibt sich S wie folgt: 



-^S=^2(X i x i -Y i y-Z^ + b 2 ^(~X i x i +Y i y-Z i z^ + c 2 2(-X i x i -Y i y i+ Z i z^ 

 + d^C*^* T t y t + Z t z) + 2 ab 2{X iVi + Y ( x) + 2 a c2(Xtg i+ Z ( x t ) 

 + 2 adZi-YM + Z ( //,) + 2 6 c-S- (Z,*, + £,y<) + 2 & ^(X,^, - Z,x,) 

 + 2 cdS (-X i!Ji + Y t xd - i T 2 2(Xf + Yf + Zf) - IZtf + y 2 + z 2 ) 

 = Minimo 22) 



Setzt man die Differentialquotienten nach a, b, c, d gleich Null und führt 



man die Abkürzungen X\ '-{-. Y\ -\- Z\ = B{, x\ -\- y\ -j- z\ == r\ ein, so erhält 



man folgende vier Gleichungen: 



a (2 (fr x t - Yi xji - Zi e t ) -TSR!) + 12 fr y t + T t x t ) - c 2 (fr g t + Z t x-) ^ 



+ d2(Z i y i —Y i t ) = O 

 n S(fr Vi + Yi xt) + b (2(- Xi Xi + Yi y t - Z> g t ) - TSR!) + c2(Yi g t +Z iVt ) 



-f äZiXiZi — ZtXi) = 

 a 2(fr Zi + Zi xt) + bZ(Yi g t + Z t y,) + c(2(- Xi x t - Y ( yt + Z t g t ) — TZRf) 



+ di:(YtXi — Xiy t ) = 



a Z {Zi xji - Yi z,) + b 2 (Xi g t - Z t x,) + c2( Y t x { - X t y f ) 



+ d(2(XiXi + Yyt + Zzi) - TS BS) = 



23) 



'} Man vergleiche hiezu die klaren Auseinandersetzungen in F. Klein und A. Sommerfeld: 

 Ueber die Theorie des Kreisels. .Leipzig 1897, S. 56. 



