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Durch Elimination von a, b, c, d erhält man nachstehende Gleichung 

 4. Grades für das Masstabverhältniss T : 1. 



= 



Z,-TZR! Z (Xi y, + Y ( x,) Z (X, g t + Z t x t ) Z (Zt y t — Y t g t ) 



Z (Xi y t + Yi x t ) 2,-TSRI S(J t 8i + Z t y.) Z (X t g t - Z x t ) 



S (X, et + Z t xt) Z ( Yt et + Zt y t ) Z.-TZRf Z ( Y t x- % - X { y t ) 



Z {Zt Vi — Y t *<) Z (Xt 8t — Zi xt) Z ( Yt x t — Xt y.) Z t —TZR f 



24:) 



wobei zur Abkürzung gesetzt wurde: 



St = Z (X ( Xi — Yi V i - Zt *), S % = S (- Xi Xi + Yt yt + Z t g t ), 



Z 3 = Z (-Xi Xi + Yi yi + Zt 8,), Z t = Z (Xi Xi + Yi y t + Z t *) ; 



Dieselbe hat vier reelle Wurzeln. Jeder derselben entspricht ein System 

 von Quaternionengrössen. Es gibt demnach vier verschiedene Lagen der beiden 

 Punkthaufen gegeneinander, bei welchen die Variation von S verschwindet. 

 Um zu erkennen, was aus der Summe S für jeden der Werte von T wird, 

 multiplicieren wir die vier obigen Gleichungen 23) der Reihe nach mit a, b, c, d 

 und addieren sie alsdann: 



= — T 2 SB 2 — l-S+l-T 2 SR^+iSr] oder S = S f] — T 2 S B 2 



S würde offenbar zu Null gemacht werden können, wenn die beiden 



I /Sr ¥ 

 Punkthäufen ähnlich sind und das Aehnlichkeits Verhältnis 1\ = 1/ — -?- gewählt 



V SB 2 



wird. Man wird daher diesen Wert als Näherungswert bei der Auflösung 



der Gleichung 4. Grades für T benutzen und jene Wurzel derselben rechnen, 



die diesem Werte am nächsten kommt. Aus ihr ergeben sich dann mittels 



der vier linearen Gleichungen die Werte von a, b, c, d, aus diesen die Grössen 



a n ß 33 und die Komponenten der gedrehten Vektoren 39,-. Wendet man die 



so erhaltenen Koordinatentransformationsformeln auch auf die Koordinaten 



der Punkte O x und 2 , die vorher auf den Schwerpunkt des zu vergleichenden 



Punkthaufens bezogen waren, an, so ergeben sich die beiden Standpunkte in 



ihrer Lage zu den Vergleichspunkten des Objektes. 



Wenn in einem speziellen Falle die drei Summen : S (Z t y t — X, 8,), 



S(X t 2i — ZiX,), S.(Yi%i — X { y t ) verschwinden, spaltet sich von der Gleichung 



4. Grades der Faktor: 



S (Xi Xi + Y, iji + Zi 0f ) - TS B 2 = 25) 



ab. Die Grössen a, b, c und damit auch der Drehwinkel u> verschwinden hiebei 

 und es ist dann das rekonstruierte Objekt schon in jener Stellung, in welcher 

 es durch geeignete Masstabsveränderung mit dem Original möglichst zur 



