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es wird dann auch nach obiger Konstruktion U = 0. Diese Bemerkungen 

 stehen in engem Zusammenhang mit jenen auf Seite 244; dort sahen wir, 

 dass das Verschwinden desselben Vektors die Drehstreckung aufhebt. 



Das Verschwinden des Vektors Sffl hat übrigens auch eine sehr einfache 

 mechanische Bedeutung. Mit SR verschwindet auch die Summe: -2"2l,-X [33,-— 51,-j 

 und umgekehrt. Die Vektoren 33,- — 2f,. sind aber die kürzesten Abstände 

 entsprechender Punkte beider Haufen. "Werden diese als Kräfte aufgefasst, so 

 sagt das Verschwinden jener Summe aus, dass diese Kräfte den Punkthaufen 

 der S3 t nicht mehr um den gemeinsamen Schwerpunkt zu drehen vermögen. 

 Aus dem Umstände, dass die Schwerpunkte im Koordinatenursprung vereinigt 

 liegen, folgt ausserdem: -^ 2t, = 0,-2' 33,. = und daher auch 2(% — 33,) = 0, 

 was aussagt, dass die Kräfte den Haufen auch nicht zu verschieben im Stande 

 sind. "Wir haben daher den Satz: Wenn sich zwei Punkthaufen mos;- 

 liehst nahe liegen, bilden die kürzesten Abstände beider als 

 Kräfte aufgefasst, ein Gleichgewichtssystem. 1 ) 



Wir wollen nun noch die Minimumsbedingung zum Gebrauch der Ko- 

 ordinaten umformen. Es sei : 2(, = x { t -|- y t j -f- g t t (£, : = X ( i -4- Y ( j -f- Z t t 

 Die Bedingung 27) lautet: 



2^x^x11] = m = ^%x% 



2 V, • U 6, - 2(S 4 ) 2 U = 2^ X % 



Z(U l X i +U 2 Y i +U 3 Z,)(X i i+Y i i+Z i t)-ZBHU 1 i+U. 2 i+UJ) = 

 Hieraus folgen die Gleichungen für TJ X , U 2 , Z7 3 : 



- j7x 2 ( r ; + z «) + u 2 2 x, r, + u 3 2 x, z t = s( r, *, - z, Vt ) 



U 1 ZX i Y i -U 2 2(X*+Z;)+U 3 2Y i Z i = Z(Z i x l -X i ^ 

 USXtZt+'UtSYtZt—Ut 2(X? + rj) = 2 {X iüi - !>,) 



Die Koordinaten der gedrehten Punkte folgen aus: 



» t = &t + vd + St = e* + $ x U = X,t + F,j + ^'l-f 



i i f 



35) 



& = X< + *i tf, - Z t U 2 ) 



7 ? , = r, + z, ^ — x, c/3 

 I, = z, + x, ?7 2 — r, u x 



i i f 



X, Yi Zi 



Vi U-2 U 3 



36) 



l ) Nach den Ausführungen auf S. 244 gilt der Satz nicht nur, wenn die beiden Haufen annähernd 

 gleiche Form und Grösse haben, sondern ganz allgemein. 



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