Aritlimetiisclie Tranisformatiomeu. 3 



Funktion ist, f und g dieselbe j-Fo]ge besitzen, was aber 

 nicht der Fall ist, wenn ^ ebenfalls eine unstetige Funktion 

 ist, so dass dann zwei verschiedene Transformationen zu 

 Stande kommeu, jenacli dem die S-Folge fiir f oder g zu 

 Grunde gelegt wird. 



Die Transformations-Gleichung (5) sinkt zu einer leeren 

 Identitát herab, wenn die 5-Folge die natúrliche Zahlenreihe ist, 

 w. z. B. in dem Falle eintritt, wenn die Primzahl Pj als 

 Fnnktion f des Zeigers % angesehen wird. 



Was die durch die Funktional-Gleichung (2) definierte 

 Funktion j anbelangt, so bestimmt sich diese durch / mittels 



So ist, wenn 



@„ = 2í(l)-?í(2) + ^(3) h . . . +(— 1)V(7^) 



^j— 1 ^jgerade, 



) — 1 -j- "ít (n) I ungerade, 



/(,) = @„+i — @„ = (— 1 ) " 2í(^+i) ; 



^•'»)=z©„zzz-l+ ^~^~^^" 3t(.), _ (7) 



wo2t(n)die Anzahl der Primzahlen ^ r^ vorstellt. Ist /(?/) eine 

 I in eine unbedingt convergente Potenzreihe entwickel- 

 bare Funktion, so lasst sich ^(y) mittels Bernoullischer Funk- 

 tionen B, bestimmen. 

 ' Denn ersetzt man in der Maclaurinschen Entwicklung. 



v— o 



y* durch 



— ^[B.+i(:í/ + 1)-B.+i(2/)], 



so ergibt sich 



(8) 



Besonders einfach bestimmt sich ?: {ij) in den folgenden 

 acht Fállen: 



