2 IV. Fraiiz Kogel: 



parameter. Endlich soli der iiber AB=^d als Durchmesser 

 geschlagene Kreis »der Uberkreis von d^< oder »der Punkte 

 A, B« heissen. 



I. Qemeinsame Punkte. 



A) Oj, 0-2 verschieden. 



a) O], O2 liegen im Endlichen. 



Ki, K2 legen einen Kegelschnittbiischel 53 fest, zu dessen 

 Individuen auch der durch die vier reellen oder imagináren 

 Schnittpunkte Mi, M., M3, WL gelegte Kreis ^ = 0{x) und die 

 konjugierten gemeinsamen Sekanten Si, s^: Sz, .s*; 55, s^ gehoren. 

 Die Gerade z schneidet 33 in den reellen oder imagináren 

 Scheiteln íJi, E\', Eo, E'2, den Diametralpankten S--i, S-o von 

 ^', den Punkten S-í, S^ von Si, So, den Schnittpunkten di, óo 

 von Ss, S4; S5, Sa und in den auf z fallenden Kontingenzpunkten 

 Ti, T2 (Schnittpunkte gemeinsamer Tangenten)^), welche 

 Punkte eine Involution 3 bilden, deren Zentral- oder Gegen- 

 punkt ® bestimmt ist durch 



(1) . . . ®Ei . ®E\ — ®E2 . ®E' 2 = ®^i . ®^2 = ®S, . ®6\ = 



®Ti . ©Ta. 

 Hieraus folgt, dass die tTberkreise der in z fallenden Axen 

 2m, der Uberkreis 2^^Q{q) von SiS^, jener von l\To und ^ 

 eine gemeinsame Potenzgerade '^ besitzen, die z in ® 

 trif f t und daher zwei r e e 1 1 e oder imagináre Punkte 

 P, P' g e m e i n h a b e n. 



Um auch imagináre Elemente verwenden zu konnen be- 

 darf es der Ersetzung derselben durch reelle. 



Soli dies flir das konjugierte auf g gelegene Punktepaar 

 r ±1 it\ bewirkt werden, wo die reelle Strecke j: einerseits durch 

 den Koordinaten-Anfang A und andererseits durch den Punkt 

 '^ begrenzt ist, der die »Mitte« des Punktepaares heissen 

 soli, so bestimme man zunáchst einen Kreis ^, der g in den 

 gegebenen Punkten í-* ± i\} schneidet. Es findet sich, dass sein 

 Mittelpunkt O auf der in der »Mitte« 3)i auf g erri chtcten 

 Senkrechten 6' liegt, wáhrend sein Rádius r^^^h'^ — i)^ ist, wo 

 h = O^OÍ und beliebig ist. Nichts hindert diesen Rádius ver- 

 schwinden zu lassen, wofiir /ž- = i) wird. Demnach gilt: 



') Staudigi, Neuere Geometrie, Wieu. 



