2 X. Lncien Godeaux: 



courbes hyperelliptiques de genre trois. J'obtiens le théorěme • 

 suivant. 



Si une surface algébriquede genre linéairej 

 supérieur a Tu nit é, possědeunfaisceaudegenrcB 

 p>o de courbeshyperelliptiques de genre trois,., 

 cette surface a le genre arithmétique 



p-ei = ps — p — É, 

 le genre linéaire 



pa) = 2pg + 2p4- 2/1 — 3 --2£ 

 et le genre géométrique 



pg ^ Stt — 6|; + 9, 

 71 étant un nombre entier tel que 



et £ pouvant prendre les valeurs O, 1, 2, ou 3 ou 

 bien la surface possěde un faisceau de genre 

 trois de courbes de genre p unisécantes des 

 courbes du faisceau donné, et alors elle a les 

 genres 



29a = 2p — 3, p^^^ = 16p — 15, ps = 3p. 



1. Soit F une surface algébrique de genre linéaire p^^^>l, 

 possédant un faisceau [C] de genre p>o de courbes hyperel- 

 liptiques de genre trois C. Soit |L| le systéme canonique de 

 cette surface. 



Supposons I L I irréductible. Cela revient, puisque p^^^^l, 

 a supposer que la surface F ne posséde pas un faisceau {K\ 

 de genre trois de courbes K de genre p unisécantes des C. 

 Les surfaoes possédant cette derniěre propriété sont bieu 

 connues, elles ont été étudiées par M. M. Maroni et De 

 Franchis et surtout par M. Severi^). 



Considérons une courbe C et une courbe L, et soit C une 

 courbeadjoiDte á C. On a 



'^) Sulle corrispondenze fra i pnnti di una curva 

 algebriea , . . . Memorie della R. Accad. di Torino, 1903, 2éme s., 

 t. LIV. 



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