Sur les surfaces possédant un faisceau irrationnel 3 



C — C = L. 



Mais [C] est de degré zéro, par suitě C rencontre L 

 ;en quatre points qui sont aussi les points de rencontre de 

 C' avec C. Done, les courbes L marquent, sur une C, la série 

 canonique de cette courbe. 



Désignons par /2 Tinvolution ďordre deux, sur F, formée 

 tipar les couples des g\ spéciales existant sur les C. D'aprěs 

 :ce qu'ou vient de voir, toute courbe canonique L contient 

 [june simple infinité de ces groupes. 



i Soit F* une surface représentative de 72, c'est-á-dire une sur- 

 Iface dont les points sont en correspondance birationnelle avec 

 ijles groupes de Finvolution l-i. A une courbe C correspondra 

 sur F* une courbe rationnelle C* et cette courbe engendrera 

 un faisceau [C*] de genre p, A une courbe canonique L cor- 

 Irespondra sur F* une courbe L* ďun certain genre jt. Cette 

 I courbe L* appartiendra a un systéme linéaire \L*\ dont la 

 dimension sera égale á la dimension pg — 1 de | L |, pg étant 

 le genre géométrique de F. De plus une courbe L* rencontrera 

 Sune courbe C* en deux point&. 



I La surf ace F* possédant un faisceau de genre pde courbes 

 1 rationnelles C*, elle est, ďaprěs le théorěme classique de 

 Noether — Enriques, référable, par une transformation bi- 

 || rationnelle, á une réglée de genre p. 



2. Entre F* et F, nous avons une correspondance 

 ti, 2), et sur F* il yaura une certaine courbe de diramation 

 \ D, de genre ó et de degré v, pour cette correspondance. On 

 peut obtenir immediatement une expression fonctionnelle 

 pour cette courbe. Remarquons en effet que le nombre-base 

 de F* est égal a deux^), car F* est référable a une réglée. 

 Or une courbe C* et une courbe L* sont indépendantes, car 

 leur determinant est, en désignant par n le degré de \L*\, 



n 2 



2 O 



= — 4 



Par suitě, A, Ai et /I2 étant des entiers, on a 



')Sulla totalita dellecurvealgebrichetracciate 

 sopra uua superficie algebrica. Math. Ann., 1905, Bd. LXIL 



