Sur les surfaces possédant un faisceau irrationnel 5 



24 (í?a + 1) — 48 (1 — p) = 6 ((í — 1) 4- 3 (2(í — 2 — v), 



I 

 rest-á-dire, 



pa ^^ o ^^P — 7r + 2. 



4. Retournons á la surface F*. Sur cette surface, 



[lous avons un systéme | L* | de degré -^(p^^^ — 1), de genre 7t 



ft de dimension pg — 1. Or, le théorěme de Riemann-Roch^) 

 ímr une surface réglée (on référable á une reglée) de genre p 

 lionne Tinégalité 



I r^ n — TT — p-\-i 



í^ntre la dimension r, le degré n et le genre tt ďun systéme 

 inéaire. Dans le cas actuel, nous avons donc 



p-^h 



2f. 



Pa — Pg p — £, 



c'est-á-dire que la surface F possěde p-]- s intégrales de Picard 

 de premiére espéce linéairement indépendantes. Or, le long 

 ďune courbe C, il est bien connu que p de ces intégrales 

 restent constantes; les s restantes donnant des intégrales abé- 

 liennes linéairement indépendantes de la C considérée. C étant 

 de genre trois, on a £^3. 



5. Pour avoir complétement établi le théoréme énoncé 

 dans le preambule, il nous reste a donner une limite supé- 

 rieure de pg. Ce sera Fobjet de ce dernier paragraphe. 



Entre le faisceau { C* } et une courbe L*, il y a une cor- 

 respondance (1, 2). Si r] est le nombre des courbes C* tou- 

 chant cette courbe L*, on a, par la formule de Zeuthen 



=) Sul teoréma di Rieman n-R oche sulle série 

 continuedi curve appartenenti ad una superficie, 

 par F. Severi. Atti Accad. Torino, 1905, t. XL. 



Pu 1^^ 2 ^ 



-í 



9U 



-3 



3Ů e est entier positif ou nul. 

 On a alors 





