6 X. L. Godeaux: Sur les surfaces possědantun faisceau irrationne! 



^ — 2(7r—l) — 4(^—1). p 



On a évidemment r]>o, ďoů 



Supposons qu'il existe une courbe L* ayant tt + 3 — 2p 

 points doublesO et étant par conséquent de genre effectif 

 2p — ^3. Entre cette courbe et le faisceau { C* }, on a toujours 

 une correspondance (2, 1) et on doit avoir (par la formule de 

 Zeuthen): 



2(2p — 3) — 4(p — 1)^0. 



Or, cela est impossible et il ne peut par conséquent 

 exister de courbe L* ayant tt -|- 3 — 2p points doubles. 



Imposer un point double á une L* équivaut a trois con- 

 ditions, 7t-\-S — 2p points doubles équivalent á 3 (tt + S — 2p)i 

 conditions. Pour qu'il n'y ait pas de L* ayant tt + 3 — 2p 

 points doubles, on doit donc avoir 



pg — l<:SU-\-3 — 2p), 

 c'est-á-dire 



p,^S{n:-{-S — 2p). 



Goettingen, 12. Mars 1913. 



«) En des points déterminés. 



