Projective Erzeugung der Curven m"'' Ordnung C". 3 



Wenn endlicli rp :=z <p^=z Sn — 2 — x ist ; also Oíři — ^i^~\- x 

 wird, so muss eine Reduction des SDř^ stattfinden, da SDíi seiner Be- 

 deutung nach niclit iiber das entsprechende ft, steigen kann. In der 

 That kommt diese Reduction dadurch zu Stande, dass jetzt ausser 

 den on — 2 — x=:q)^ Puncten / auf einer (E^""^"^ nocli x Puncte E 

 einer B beliebig wálilbar sind. 



Ist dies gescliehen, so betragt nach dem Vorigen die Mannig- 

 faltigkeit der durch diese 3n — 2 Puncte gehenden (52w-K genau 

 říj — X, die totale mithin {i^. 



Im Allgemeinen wtirden hiernach die auf einer (5^"+* etwa be- 

 findlichen B in endlicher Anzahl vorkommen, sobald 3w — 2 Puncte/ 

 der B angenommen sind. Aber es ist keinesivegs ausgeschlossen, dass 

 auf gewissen der o©'" Curven (i^»+'^, welche die 3w — 2 Puncte/, enthalten 

 unendlich viele B existiren, das heisst, dass von einer B noch einer 

 oder mehrere Puncte willkiihrlich sind. Fitr derartige (g^wf^ kann 

 sofort eine maximale Mannigfaltigkeit gefunden werden. Wird ange- 

 nommen, dass jeder beliebige Punct E einer (p*^+'^ zu einer B ge- 

 hort, so liegt ein E auf ooř^— ^ Curven 2n -\- v*^'" Ordnung, jedoch 

 nach Obigem nur auf oo^— '^ (52»+'^ ((i fallt um 2 Einheiten). Oífenbar 

 wlirde diese Mannigfaltigkeit um 1, 2 . . . Einheiten kleiner ausfallen, 

 wenn nebst E noch 1, 2, Puncte von einer B annehmbar wáren. 



Nach Ausschluss aller dieser (5^"+^ verblieben sonach noch un- 

 endlich viele (J2"+»' , auf welchen die B ein oder mehrdeutig bestimmt 

 sein werden. 



Beispielsweise sei n=z3; 3n — 2 =: 7. 



Die / bestimmen ein Netz von C^ das man zur Transformation 

 einer (í^+^ in dem Falle benutzen kann, wenn nicht eine derjenigen 

 Curven zu Grunde liegt, auf welcher unendlich viele B existiren. Die 

 Transformirte bekommt alsdann eine gewisse Anzahl von Doppel- 

 puncten, und ebenso viele B treten auf (5^+" auf. Wenn etwa v — O 

 ist, so erhalt man als Transformirte C^' (7 -j- 11 == 3 . 6) und da ihr 

 Geschlecht 10 sein muss, wie fur (E^ so hat sie 5.9 — 10 = 35 

 Doppelpuncte. 



Wir wenden uns jetzt zur Untersuchung des Erzeugnisses (S^"+^ 

 zweier projectiver Bíischel (C"), (C"^^^), welche ů Basispuncte Z) gemein 

 haben. (5:2«-f-^ erhalt dann die D zu Doppelpuncten; C^^l" ist das 

 Zeichen fiir irgend eine Curve mit den Doppelpuncten D, wenn sie 

 nicht auf diese projective Art hervorgebracht werden kann. Die D 



fvy (-M —I— "W 



sollen normál hezuglich C^ sein, daher ist ď<C 9 ~^^ ^^ nehmen. 



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