4 I. Carl Ktipper: 



Auf die Falle n = 1, also auch d' =: 1, w zi: 2 ; d^ 4 ist es unnóthig 

 einzugelien, da ihre Erledigimg steh ganz von selbst versteht. Dem- 

 gemdss ist n >• 2 aumnehmeu. 



II. 

 Unentbelirliťlie Hiilfssátze. 



1. Betreffend die Curven C"* mit ó gemeinschaftliclien Doppel- 



(w— l)(w — 2) 

 puncten D. p =r ^^ -^ o. 



A) Untersuchiiiig der Lage, welche die D beziigiich ihrer C™ 

 haben konnen und der Constantenzahl c. d\ welclie die D absorbiren 



Die Zanl — ^^—^ — - — So =: ft^, gibt die normále, — ^—^ — -' — cd 



die faktisohe Mannigfaltigkeit ft der C™; die Diíferenz ^i — ^i^ =: (3 — c)d 

 nennen ^Yir Excess t, . Es sel ft > o , mag ^i^ positiv oder negativ 

 ausfallen : 



Um II Z/U íinden, schneiden wir eine bestimnite C'^ mit irgend 

 einer zvyreiten in einer Gruppe G von Q :=z m" — 4d Puncten. Hat 

 diese Gq auf Cf die Beweglichkeit q, so folgt, 



/^ = 2 + 1 • 



Wenn nun Gq die Beweglichkeit q^^^ U — p hat, wofiir sich durch 



Einfiihrung der Werthe von Q, p die Žahl — ^ — 3 á — 1 



ergibt, so kommt ^ = í^^, ; das heisst, die D liegen normál beziigiich 

 der C™ und absorbiren 3 Ó Constante. Bekanntlich tritt die Beweg- 

 lichkeit ť/o dann und nur dann auf, wenn durch Gq eine adjungirte 

 C^-^ unmóglich ist. 



Aber wenn ^ z= (/^ -[- ^ ? ^ > O als Beweglichkeit erhalten wird, 

 kommt /(t =: /Hq -[- ^ 5 oder (3 — c) á z=z^, die D absorbiren ců <; 'dd 

 Constante, und haben anornmle Lage gegen die C™. 



Damit dies eintrete, ist erforderlich und hinreichend, dass durch 

 Gq genau ©o p-^-Q+quH — co f-i adjungirte C'^-^ gehen. (Eiemann) : 

 „Keunt man demnach die Mannigfaltigkeit der adj. C™-^ durch Gq 

 gehend, so vermehre man diese um 1, um den Excess ^ = (3 — c) ó 

 zu erhalten." 



Wir haben stillschweigend Q > O , d. i. m'^ > 4 ř) gedacht, weil 



