Theorie der Euleťschen Fun cti onen. 5 



Der Rest der Reihe (129) hat die bemerkenswerte Eigenschaft 

 durch wiederholte Anwendimg der Integration durch Theile neue 

 Reihengiieder hervorzubringen. Darauf grilndet sich eine zweite Ent- 

 wicklungsraethode, aus der sich fiir w =: 2 ergebenden Identitat, durch 

 fortgesetzte teilweise Integration des Restgliedes Reihengiieder ent- 

 stehen zu lassen. Aus genannter Eigenschaft folgt aber, dass Coefíi- 

 cienten und Rest fiir jedeš n die gefundene Form haben miissen. 



Fiir JczzO folgt das Analogon zur MACLAURiN'schen Reihe 



»• = o, 1, 2, . . . 



-f ^^ f{l — tff^+'>{xt)dt 



o 



- -|^/[E«(l-'^+^)-En(l— #-w)][/''+^)W -[-/("-!)( -;í?í)](?# (133) 



o 



Wird in (129) x z=:.h oder m =: 1 genommen, so geht wieder 

 die urspriingliche Reihe (34) hervor, wáhrend fiir 7i = O (129) und 

 (133) in die TAYLOR'sche und MACLAiRiN'sche Entwicklung iibergeht. 



Bei unendlichem Zunelimen von n verschwindet zufolge der iiber 

 f{x) geraachten Voraussetzung der erste Teil des Restes; es liisst 

 sich daher behaupten: 



Eine nach dem TAYL0R'schen 8atze enťwickelhare Function 

 f(x -j- h) ist dari^Ji eine nach den EuLER'schen Fimctionen erster 

 Avt fortschreitende Reihe darstellbar, tvenn es Werte von x, soivie 

 der Constanten h und h giébt, fUr ivelche 



lim^,,,=:0 



wird. 



Eine von Integralzeichen freie Form nimmt dieses Restglied 

 an, wenn 



— 1 ^ w ^ + 1, oder —h-^x-^-^h 



vorausgesetzt wird. 



Fiir diesen Wertbereich sind die Extréme von 1 — t±iu^ wenn 

 t von O bis 1 wachst : — 1 und ~{- 2 ; innerhalb und an den Grenzen 

 desselben erreicht Esn, wie aus (8), (10), (11) und aus dem G-ang 

 der Function zu ersehen (vergl. auch Fig. 2. und 4.), hochstens den 



