Theorie der Euler'schen Functionen. ,9 



Ist nun IJarW convergent fur — g -^u^g, so ergiebt sich 

 aus íi -\- s — 1 = <? als obere Greiize ** -f- s = ^ -j- 1. 



lu (cc) — u statt -f- u gesetzt, ergiebt nach leichter Reduction. 



s 



E, 00 = (— 1)"^E,. {u — s) + 2[(m — !)'• — (w — 3)'- . . . 



... + (-ir>-s + !)'•] (/5) 



demnach 



UttrEr (U) =: ( 1 ) - UUr E,. (u s) 



-f 2[2Jar(it — ly — . . . ± ^ttriu — s + I)*-], 

 woraus wegen 



u — s-|~l=^ — 9 



sich als untere Grenze ti — s = — g — 1 herausstellt. 



Die absoluten Betráge der Grensiverte einer BeiJie nach den E 

 sind dalier immer um die Einheit grosser als jene der Reihe, ivelche 

 aus der Gegebeneu durch Vertauschung von E,(w) mit Ur entsteht. 



Dieser Satz hat selbstredend zu seiner notwendigem Voraus- 

 setziing die DarsteTlbarkeit der gegebeneu Function durch die E. 

 Ist dieselbe constatirt, so wird durch denselben die Aufsuchung der 

 Grenzen auf die jedenfalls minder schwierige einer Potenzreihe zu- 

 riickgefiiln-t. 



Da die Grenzen g einer Potenzreihe notwendig von Null ver- 

 schieden sein miissen, wenn von einer Convergenz gesprochen werden 

 soli, so folgt, dass die Grenzen einer Reihe nach den E, durch welche 

 eine holomorphe Function darstellbar ist, absolut genommen grosser 

 als die Einheit sind. 



3. 

 Eindeutigkeit der Entwickelimg, 



Wáre 



UarErix) = 2;ď,, E(íc), —l—g<:x<:l-\-g, 

 und ttr von br verschieden, so bestiinde 



I^Cr Er (^; — O , Cr =^ ttr Ď^ . 



