10 II. Franz Rogel: 



Es giebt aber fiir ein noch so kleines g^^O eine continuirliche 

 Wertreilie vou x, fiir welche x -\- 1 und x — 1 noch innerhalb der 

 genannten Grenzeu zu liegen kommen, so dass daun auch 



ŽJCr Er {x -^l)=zO, i:c,. E. (a; — 1) = O 



ist. Hieraus folgt durch Addition mit Riicksicht auf (5) 



2JCr[Er{X + 1) + Er(X — 1)] ::= 22Crr- = O, 



was nur bei verschwindendeii c- moglich ist. 



Also ist ttf ^E b, ; d. h. gleicliivertige EnfwicJclungen nach E sind 

 identisch. 



Demnach ist hier der Satz der „unbestimmten Coefficienten" 

 anwendbar. 



Fiir endliche Reiheii lilsst sich das Nichtbestehen einer Relation 



lil 



>. CrEr =0 noch auf eine andere einfachere Art nachweisen. 



»•— U, 1 



Bei von Null verschiedenen c ware niimlich die im letzten 



Gliede enthaltene hochste Potenz x""' linear durch die niedrigeren 



darstellbar, was absurd ist ; es muss daher ebenfalls (7^ i= e.^ =: . . ., 

 = Cot = O sein. 



4. 

 Differenzirbarkeit. 



Wenn die als convergenf vorausgesetzte Reihe 



w-mal beziiglich x difřerenzirt wird, so entsteht dasselbe, wie wenn 

 /'»)(a- -|- /í) nach dem Satze (129) entwickelt wird, niimlich 



y,^ f-^+p)(k -^h)^ f-^+P)(Jc — h) 



Diese neue Reihe wird convergiren, wenn der der Function 

 f"'\x-\-k) entsprechende Rest gegen die Nulle convergirt. Der erste 

 Teil desselben verschwindet, wenn die Potenzreihe f^^x -j- Je) con- 

 vergirt und der zweite, wenn lim %„ auch dann verschwindet, wenn 



