Theorie der Euleťschen Functionen. 27 



aus (129) resp. (130) erhalten werclen kanu, wenn zuvor u+1 fiir 

 u geschrieben unci schliesslicli die Šumme der hiedurch entstelienden 

 Potenzreihen auf die linke Seite gebracht wird. 



Selbstverstándlicli gelten die fiir — l-^u-^-j-l modiíicirte 

 Restformel (134) und die sich daran kniipfende ausreicJiende Conver- 

 genzbedingung (135) auch hier. 



Beziigiich der Darstellbarkeit einer gegebenen Function durch 

 die E' lásst sich behaupten: 



Eitie nach dem Tatlor'schen Sat0e entwicJcelbare Function von 

 der Form 



ist durch eine nach den Muler^scJien Functionen ztveiter Art 

 fortschreitende Reihe darsteUhar, tvenn es Werte von íc, sotvie der 

 Constanten h und h giehf, fur ivelche 



lim ^k,n —O 



wird. 



Unter den Functionen, die eine solche Entwicklung nicht zu- 

 lassen, sind die der Bedingung 



f(x-^h)—fix — h) 



genligenden zu nennen. In diesem Falle verschwindet der Rest nicht, 

 sondern er wird gleich der negativen Šumme der Reihe. Denn, wiirde 

 derselbe verschwinden, so hatte man dann eine Darstellung der Nulle 

 durch die E', was mit der EindeutígJceit aller Entwicklungen nach 

 den E', welche im Nachfolgenden erwiesen wird, im Widerspruch 

 stiinde. 



Bei Darstellungen von Functionen mit der Perioda 2p durch 

 die E', wird demnach ein von p verschiedenes h gewáhlt werden 

 miisseu. 



2. 

 Coiivergenzgrenzen. 



Sei 

 und 



f(X-[-k)-ž]hrE\.(u) 



ŽJb,W 

 convergent fiir alle u zwischen — g und -\~ g, so ist zufolge (6) 



22JbXr(u) — 2Jb,Er(u + 1) — 2JbrEr(u — 1), .... («) 



