Wíire ferner 

 folglicli 



oder 

 demnach 



Tlieorie der Euleťschen Functionen, 29 



Eh, E(W + 1) — 2:hrW ~ O, 



g(0)t/-)(^^^,^Q, 



/(r)^0)-/W(— 2):::z0, 



f{ii) — f[u — 2) =r const (7) 



Das gieichzeitige Bestehen vou (/3) und {y) liatte nun/(w) = const. 

 und dalier das Verschwinden saramtliclier Ableitungeu, also das der 

 Coofíicieuten h-^ ziir iinmittelbaren Folge, 



Liisst sicli eine Ftmctíon nach den E' entivicheln, so kann dies 

 nur mif eine einzige Art geschehen. 



Der „Satz der unbestimmten Coefficienten" kann demnach auf 

 derlei Reihen angewendet werden. 



Der fiir das NicMbestehen einer endlkhen^ verscliiedene E linear 

 verkniipfenden und verscliwindenden Reihe gefiilirte Beweis gilt wort- 

 lich aucli fúr die E'. 



Ebenso besteht das beziiglich der unheschrdnMen Differensirbar- 

 lieit uber convergente Reihen nach E Gesagte vollinhaltlich auch fiir 

 solche nach E'. 



Wird unbeschránkte Differenzirbarkeit vorausgesetzt, so ergiebt 

 sich mit Notwendigkeit EindeufigJceit der Entwicklung. Denn eine 

 solclie Reihe in E' lasst sich mittelst (104) leicht in eine nach E 

 fortschreitende und eine Potenzreihe umsetzen ; nun wurde fiir erstere 

 der Nachweis bereits erbrachť, daher giebt es fiir eine Function, falls 

 tiberhaupt Entwicklungsmoglichkeit vorhanden ist, nur eine einzige 

 differensirbare Entwicklung nach E'. 



4. 



Entwicklung eiiier beliebigen Function. 



Um auch fiir den allgemeinsten Fall, wo die gegebene Function 

 nicht von der Form 



2 

 ist, eine Reihe in E' zu gewinnen, ist es am zweckmiissigsten von 

 einera Pendant zur Relation (138) Gebrauch zu machen, welches her- 

 vorgeht aus 



