Theorie der Euleťschen Fuuctionen. 35 



2y^p{t) z=f(p\x -i-k-\~ M) —fp\x 4- ^ — hť), 



f,z=:f('^x-\-Jv), BjA-^\: Bernoulli'sche Fimction p"-^' Ordnung, 



' (lie Y,. uiittels (158) durcli die E' ausgedriickt, so darf nach den E 

 geoninet ivenlen und ivird dus Residtat convergent, ivenn 



lim -ZT J B.,\^-^W,{t)dt:=zO 



P 



2. lim ^n-TTi ^- 



«-a. [ {ni -\- 1) ! 



— -^f\^Át 4- ■n)f»\k — M) - E^i - li f^Kk + mdt\ 



o ' 



= o fiir alle m < w ; 2 F„ =zf''>(x 4- h -f h) —f(»)(x + Jc—h). 



Durch letztere Gleichimg wird nicMs anders als die imbe- 

 schrunMe Differenzirbarkeit der Reilie fiir Y ausgesprochen. 



Ist auch 



jim ^ j BA^W,mt=zO 



fiir aUe r ■<■ p, so ist die Entwicklimg von /(.x -^ /í) nach E' unhe- 

 scli rdnkt differensirhar. 



Erwahnensvvert ist noch eine Entwicklung von f{x -[- /«), welche 

 Zlí einfach gebildeteii, jedoch die Yariabele u enthaltende Coefficien- 

 teii íuhrt. Sei namlich 



eine convergente imd differensirhare Reihe, und wird (a) beiderseits 

 beziiglich h differenzirt, sodann der Ordnungsexponent jedeš / um 

 die Einheit herabgesetzt, wodurch linker Hand 



f{x + Z; -f h) +/(cc -^h — h) 



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entsteht, und das Resultat zu ía) addirt, so ergiebt sich eine Reihe 

 iiiv fix-j- Je -\-h), welche durch Vertauschung von k mit k — h so- 

 fort iibergeht in 



