3 IV. Carl Kiipper: 



zu m — 1 =: li punctigen Sehnen liaben, also S zum Doppelpunct 

 belvoramen, uiid deren C^™ eine (/^ hesitzen, und k-gonal sind.^'' 



Ohne Weiteres wircl man clen nicht hervorgehobenen Theil 

 dieses Ausspruclis einselien ; der andere bedarf allein des Beweises. 



Wir haben vor allem das Geschleclit p einer E^"" zu bereclinen. 

 Zu diesem Zwecke bestimmen wir in bekannter Weise die Ordnung 

 der osculirenden Developpablen fiir i?^™ mittels der projectiven ersten 

 Polarcnbuschel eines auf einer Geraden X variablen Punctes be- 

 ziiglich S"^ und F"" . Diese Biiscliel liefern eine i^'", welclie die Con- 

 jugirte der X beziigiich S'^ enthalt, dalier einfacli dur cli S gebt, und 

 ausser S noch 2m^ — 2 Puncte der i?-™ aufnimmt. Demgemass ist 

 2m'^ — 2 die fragliclie Ordnung oder die Classe jeder Projection C'^"\ 

 Hat diese dalier x Doppelpuncte, so muss 2m (2m — 1) — 2x = 

 2m^ — 2, somit 



X rzz. m (m — 1) -\~ 1; p =z m (m — 2) . 



Nennen wir E die Ebene der C*^™, O das Projectionscentrum, V 

 die Projection des Doppelpunctes jS der it-"% so stammen die iibrigen 

 m (m — 1) Doppelpuncte D von scheinharen der i?-™ her. Eine be- 

 liebig durch /S'gelegte Ebene F schneidet S- in zwei Kanten /f^, K^, 

 auf deren Projectionen je eine Gruppe der g^^'^ liegt. Die Tracen der 

 durch OS gehenden Ebenen sind die Strahleu L des Biiscliels (F), 

 jede L trágt 2 Gruppen G der Schaar. 



C^rn ^^yg ^-gonal, wenn es oo'" adjungirte C^^-^^-i == C"" giibe, 

 wobei (ti. >► o, Dies erkennt man folgendermassen. Damit eine adj. 

 (j2m-.\ gjjjg Gruppe G aufnehme, braucht sie nur Ic — 1 — m — 2 

 Puncte der G zu enthalten, damit also C^™-' durch die beiden auf L 

 befindlichen G hat sie 2h — 2 =:2 (m — 2) Bedingungen zu erfůllen. 

 Also liegen diese G auf ooí^-i-ž (»-2) j^(jj_ C^»*-^ Da hier die C-™-^ 

 mit L in den G 2m — 2=:2Jc Punct gemein haben, so zerfallen sie 

 siimmtlich in L und ooí'-i-2«í+4 _ ^m-^-ém+s Curven C^'"-^ die alle 

 die D enthalten werden. Aber die normále Mannigfaltigkeit der durch 

 die D moglichen C^'™-^ betrágt m^ — 4w -f 2. Wir finden also. 



„Die Gruppe der D liegt anormal beziigiich C-"'— ' (Excess 1). 

 Ist nun ď"' irreducibel, eine C' {i <: m — 1) durch die D also nn- 

 moglich, so betrágt der Excess der D-Gruppe bezuglich der Curven 

 Qim-i-i wenigstens 



(i + 1)0- + 2). 



