2 XXIII. Carl Kíipper: 



„Ausserdem liat C'^ nur noch Schaaren g'-^ ivo Q> 23, und von 

 einer Gruppe sind hier ehenfalls Q — q Puncte wiiMbarJ' 



Beweis. ^^'>' sei eine siipponirte Gruppe, fiir die also Q — í^^g, 

 und <ip ist. Alsdann mussen sicli innerhalb derselbeii Q — 2q fiir 

 die zugehorige Schaar unhewegliclie Puncte befinden: Náralich die 

 Gruppe enthalt Q — q Puncte a, normál gegen die adj. C^-^W^gQwi^i, 

 durch welche ebensoviele a raitbestimmt sind. Unter diesen a mussen 

 nun die q Puncte vorkonimen, welche die a zu G^^^ ergiinzen. Mit 

 a' sollen die tibrigen, nicht zur Gruppe gehorenden cc bezeichnet sein, 

 und mit a' diejenigen «, welche jene a' bestimmen oder auch, durch 

 sie bestimmt erscheinen. Da nun die ď offenbar der Restgruppe 

 (t2p_2-q angehoren, so enthalten die adj. C"-^, welche die betreffende 

 g^^> ausschneiden die festen Puncte a' (iu der Anzahl Q — 2q). 



Nehmen wir jetzt Q — í/<2J — 1 Puncte a, normál zu den 

 C"-^ an, nennen a die Q — q mitbestimmten, und wáhlen von diesen 

 irgend welche q, um sie den a zazufiigen, so erhalten wir eine G^\ 

 Sie hat ja beziiglich der durch sie gehenden adj. (7"~^ den Excess q, 

 somit die Beweglichkeit q. Indem wir hiebei die a festhalten; leiten 



wir — TTTT— — iVi- solcher Gruppen ab, von denen irgend eine zu 

 q 1 (Q — 2q) ! i-i ■: o 



einer g'''^^ mit Q — 2q unbeweglichen Puncten gehoren wird. 



II. 



Zu dem Satze auf Seite 9 (1. c), welcher lautet: 



„Sind die adj. C"-''^^ (^ >» 2) in normaler Mannigfaltigkeit : 



f(^) = « — Z; — 1 — ó 



vorhanden, so muss die C" einen n — Machen Punct und uberdies<)~ 

 Doppelpuncte haben." 



Meiu kurzer Beweis wird deshalb nur wenigen Lesern ver- 

 stándlich sein, weil er auf einem Theorem liber sogenannte ď-Curven 

 ^^„_^_i fugg^^ welches sich vielleicht nirgends formulirt findet. leh 

 werde zunachst hierauf níiher eingehen, sodann den fraglichen Beweis 

 etwas umstaudlicher durchfiihren. 



Bekanntlich haben adjuugirte C"* jeden /;-fachen Punct T" der 

 C" zum h — 1-fachen „Grundpunct", und es kommen diese C'" stets 

 in normcder Mannigfaltigkeit vor, wenn m^n — 3, nicht aber falls 

 m <■ n — 3. 



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