2 ÍI- J. Sobotka 



Punkte t von C, und (o ť) trifft P im Punkte í*, welcher der Pro- 

 jection C* angehort. 



Mann erkennt, dass í* der Pol von T in Bezug auf F, also 

 auch der Pol der Spurgeradeu T von T in der Ebene P in Bezug 

 auf den in P enthaltenen Kegelscliuitt F der Fláclie 2. Grades ist. 



Daraus ergibt sicli das Resultat: 



Die Projection (7* und die Spur Z des Richtu ngs- 

 kegels Kin der Ebene P sind zu einander polarrecprok 

 in Bezug auf den Kegelschnitt F. 



Dieses Resultat bleibt uatiirlich auch fiir die nichtcentrischen 

 Fláchen 2. Grades bestehen; die Centralprojection von C geht iiber 

 in die Parallelprojection in Riclitung der Axe von F. 



Hiemit ist die vorgelegte Aufgabe gelost. Die Construction 

 lásst sich selbst in dem Falle, wenn F imagiuár ist, einfach dar- 

 stellen. Úbrigens kann man den Kegel K parallel verschieben, so 

 dass er jederzeit eine fiir die graphische Darstellung giinstige Lage 

 bekommt. Dass, wenn C*, K und F in eine beliebige Ebene projicirt 

 werden, auch die Projectionen von C* und K polarreciprok sind in 

 Bezug auf die Projection von F^ braucht wohl nicht erst bemerkt zu 

 werden. 



Ist K gegeben, so liefert die Construction Punkte der Curve C 

 gleichzeitig mit den entsprechenden Tangentou derselben, und umge- 

 kehrt, ist C gegeben, so liefert sie die Tangentialebenen des Kegels 

 K gleichzeitig mit den ihnen entsprechenden Beríihrungskanten. 



Dieselbe Betrachtung fúhrt uns zur Construction der Osculations- 

 ebene O von C in irgend eiuem Punkte t. 



Die Spur T beríihre K im Punkte w ; diesem entspreche die 

 Tangente U^ von C* im Punkte í*. 



Man construire zunachst den Kriimmungskreis — nothigenfalls, 

 wie beispielsweise, wenn (pu) \ \ P ist, einen osculirenden Kegelschnitt 

 — V von K in w, bestimme den zu V polarreciproken Kegelschnitt 

 F* in Bezug auf F, so ist O die Osculationsebene in t fiir die Durch- 

 dringuugscurve S der Fláche F mit dem zu dieser concentrischen 

 durch F* gehenden Kegel V*. 



F* ist entweder eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabol, 

 jenachdem der Mittelpunkt e von F innerhalb, ausserhalb oder auf 

 y liegt. 



Es sei E die Polare von e in Bezug auf F. Die Polinvolution 

 von F auf E geht duál iiber in die Durchmesserinvolution von F*, 

 wodurch sich im Falle einer Ellipse oder Hyperbel der zu í* gehorige 



