2 IX. M. Lerch 



pement de la somme double suivant les puissances de s — 1 que 

 nous avons donné daiis un mémoire sur les séries Malmsténiennes.^) 

 Dans ce mémoire nous avons rencontré une relation, qui conduit 

 assez facilement á une nouvelle démonstration du théorěme con- 

 sidéré, que nous allons développer. 



Remarquons ďabord qu'en développant la fonctíon 



co 



s — 1 2xm(w-\-n) 



par la série de Fourier on trouve aisément cette formule importante 

 de Mr. Lipschitz: 



co »-,/ v 00 



/1\ V^/ I ^s— 1 2xm{w-\-n) r{s) \^ 



2vuim 

 e 



í ' 



{2jiy éLml ( — ix -f- iv) 



oii la quantité w doit etre réelle et entre O et 1, tandisque x doit 

 avoir une partie imaginaire positive et la partie réelle de s est sup- 

 posée supérieure á Tunité. Les puissances (lo -{- ny-'^, ( — ix -\- ivY 

 sout données ďune maniěre univoque par les exponentielles 



^s]og{w-\-n) ^^ ^slogi—ix+iv) 



avec la condition que la partie imaginaire du logaritlimc soit con 

 tenue entre 



Cela étant, posons x =zu -j- ^mi, a étant positif dans sa partie 



réelle, multiplions par e '"^^* et faisons la somrae par rapport á 

 fi =: 1, 2, 3, . . . Nous aurons 



(^)i:- 



V v 



^2(07i{w-\-n)—2vm ^ (2jř)« ^ ^ (— ní -{- fio) --\~ vi)' 



ce qui est la formule de notre mémoire sur les séries Malmsté- 

 niennes. 



Ce point établi, considérons la somme 



3) Mémoires cle FAcadémie tchěqiie, !<= année, 2'"<5 classe, JSTo. 27; 1892. 



