Sur un théoréme de Kronecker. 



(3) K'(a,b,c;,) = Y, r„,„.,2h 



{am"^ -\- 2hmn-\~cnry 



(lans laquelle les quantités réelles a, 6, c satisfont aux conditions 

 o-X)^ c>«0, ac — 6^ = z/>0, de maniěre que (a, &, c) est uue 

 formě positive du determinant — z/, puis la quantité complexe s a sa 

 partie réelle supérieure á Tunité pourque la série soit absolument 

 convergente, et les indices sommatoires m, n parcourent toutes les 

 valeurs entiěres, positives ou négatives, á Texception de la seule 

 combinaison m = w z= O qui donne un terme infini. 



La série (3) définit une fonction analytique K'{a^ b, c ; s) de la 

 variable complexe s qu' 11 faut continuer dans le domaine des autres 

 valours de s et dont il faut reconnaítre la nature. 



Décomposons á cet effet la série comme il suit 



~ Zj (čň^ ~^ Zj ^ (am^ + 2bm7i 4- čři^ ' 



W= — 00 ■' M= 00 M= 00 



les accents ajoutés aux signes Zl indiquant qu'il faut supprimer les 

 t^rmes infinis n-=zO et w = 0. 



Mais on peut aller plus loins, en écrivant dans la seconde partie 

 une fois m = 1, 2, 3, . . . et 1' autre — m' au lieu du m négatif, en 

 prenant ainsi m' = 1, 2, 3, . . . La série double devient ainsi 



00 00 ^ 00 00 ^ 



^J Z.mi iam"- -f- 2&WW A- cnrY ~^ Zj Zj (mn"^ — 2hmn -f- (^n^Y 



m=l n=—a> ^ ' ' -^ m=l «=— oo 



et en cliangeant w en — n dans la seconde les deux séries coincident, 

 ce qui donne 



(3«) Z'(a, 6, c; s)= — V^ + 2 V V -^ — , , ^/ , ^ 



91=1 Mt=rl W= — 00 



et tout revient á Fétude de la somme 



00 00 j 



^"^ ~ Zj Zj (am^ -\-2hmn -\- crť^y ' 



m=:l M=— 00 ' ' ^ 



Représentons par íWj, — iv^ les deux racines de Téquation 



n -f- 26?í; -\- cv)"- zzz O, c'est á dire posons 



