Sur un théorěme de Kronecker. 5 



Eífectuons ďabord rintégration par rappoťt a íc; il est permis 

 évideiuiiient de remplacer Fintégrale de la série par la somme des 

 intégrales des termes et piiisque le terme géuéral peut s'écrire 



(v _1_ my-i (y + ?i)«-i S^e"''"'^"''^^ + '"^ + *'^ + 2fi7ii[w2{y + 71) - x] , 

 a, /3 

 K /5=:1, 2, 3....), 



son integrále sera égale á 

 ou bien 



(i/ + "O +^'^2(2/ + «)] 



a=:l 



— 2niw^ (2/ -f- wi) — ^Ttiiv^iy + w) w ' 



nous aurons ainsi 



^ ^ ďns)- J '^ LmmÁ — 2mw,(í/ + m) ~ 27lÍWi{tJ + n) 



('w, W=:0, 1, 2, 3, ). 



Mettons á part les termes oii m-^n en posant n r= m -J- /c, 

 (/b = O, 1, 2, . . .) et les termes oů m > ?i, en posant m == » -|- ^', 

 (Ze' = 1, 2, 3, . . . .); nous obtiendrons de la sortě deux séries oíi fi- 

 gurent les indices sommatoires m et A;, resp. n et h'^ á savoir 



( 27t) 2* .^J J r— 27tiwi {y + m) — 2nko^ (?/ + ?íi + k) . 



^ «i, & o ^ — ^ 





■ 23riw2 (?/ + w) — 23riz<;j {y -\- n -\- k') 



n, k' '^ ^ 



En transformant le terme général par la substitiition ?/ -[- m = t; 

 dans la premiére et par la substitution y-\-n^=iri dans la seconde 

 équation nous aurons aprés avoir eífectué la sommation par rapport 

 á m, resp. n, 



csTisÝ a_V^ ^00 ^^^-1 (^ j^ jcy-1- dfj 



^^CŽTtY^ i^ J — ^TiiWyTi — 2niw2 (17 + fc) ^ 



k—O 



00 „ 



^t:L(i.i_52!i!íi___ , 



2mw^'>] — 2niw, {t; -{- k') -. 

 k'=\ ň « " ^ 



