12 IX. M. Lerch 



2kí {md -f m) 



i — — 



e 



n=l M==-oo I r-?- -{■ ni I I v^ m I 



On en conclut que cette somme s'évalue par Tintégrale double 

 S = -^f^f /i (« + <?5 2/ + '^) /2(í», y) dx dy, 



o o 



les quantités /^ et /^ étant les mémes que dans le numero précédant. 

 La fonction /i(í»-|-<?, y-\-T:) sera donnée par la série de la formě (2) 



{^Ttf ^ {y-\-T-\-m) 



r{s) 



^J — Íw^Tti{y + T -j- m) — 2jcí(cc + tf) ^ "^ ^ 



r,=:0 e 



toutes les fois que la quantité y-\-t soit entre O et 1, mais il faut 

 ajouter le terme 



r{s) — "Iw^niiy -I- r — 1) — ^2ni{x + tfj_ -^ " ^^ 



toutes les fois que y -\-t soit entre 1 et 2. II s'ensuit que Pon a 

 fff^h dxdy = ýďy J'dxf,J, -^ fdy fdx (/,* + ^>,)f, 



• o J ^ o 



ou ce qui est la méme chose, 



(«) r J /1/2 dx dy — Jdy J ý\ % dx -\~ idy f<pj^dx. 



00 00 J ^ o 



On trouve comme plus haut 



{27tyJ -^^ /2Í*«^ — J '''^ ^^f -2w,7ti{y + r^m)-2mix + (}) .\ 



O "•- 



1 



X 



C — 2w2'TCÍ (2/ + w) + 2a;n;i ^ N 



_'y^ (y + ^ + ^)'~^ (ž/+ ^y~^ 



^^ — 27ríií)i (?/-f T-j-m) — 27tiw2(y-{-n) — 2«í«i ^ ' 



m, n ^ -'■ 



ďoii Ton déduit, en mettant á part les termes oú m-^n et les autres 

 oíi m > w, 



