Sur nn tlióorěmo de Kronccker. 15 



Si Ton exprime la premiére série 



'^ cos 2nrn 



w=l 



par IMntégrale définie 



1 /-" e* cos 2r;r — 1 . , , 



r{2s)J e2^ — 2e-^ cos 2m + 1 



o 



011 voit aisément que K (a, b, c ; (?, t ; s) est une fondion trans- 

 cendante entitre de s. Én representant par s^ une constante indé- 

 pendante des autres variables qui figurent en K^ les coefficients du 

 développement de K (a, &, c; g, t; s) suivant les puissances de 

 s — Sq sont des fonctions des variables «, 6, c; cr, r qui ne changent 

 pas en remplaQant ces variables par des valeurs équivalentes a', //, 

 c', ď, t', oú 



ď = ak"" -\- 2bkk' + ck'"" 

 h' — akl + h{kl' + ka) -f- cA;'ř' 

 c' = aV -f 26ZŽ' 4- cZ"* 

 6' z=z R(kG -f- /c'r), 



et oú Ze, ř, fc', I' sont quatre nombres entiers satisfaisants á la con- 

 dition kl^ — k'lz=z±^l ; le symbole R(z) représente ici le reste défini 

 par Finégalité O ^ R{z) < 1, z — R(z)z= entier. 



Kronecker a obtenu la valeur de la fonction K pour s = 1 souš 

 une formě remarquable que nous allons faire connaitre. Dans ce cas 

 Téquation (8*) nous donne 



Z(a, &, c ; ď, r, 1) = — y^ — 



2nt7t 



^lS/""(; 





1 



—27tix{Wy-{-W2)—2ni{6-\~TWi-\-Jcw^) ^ 



' — 2nix(wi-\-W2)-\-'ini{6—rw2 — kw^) ^ 



rp nj 1 



' ^^ J \ — '2.nix{w^-\'W2) — 2iii{6 — tW2,-{1cw2) ^ 



+ L 



