Constructiou der Osculationshyi^erboloide windschiefer Fláchen. 3 



Ebenso einfach wiirde man veifahren, wenn die Leitcurve (A) 

 durch ihre Pťojection gegeben wáre, zu der man den Krumraungs- 

 kreis in der Projection von a darzustellen tráfe ; wir wiirden da na- 

 túrlich diesen Krúmmungskreis als die Projection des osculirenden 

 Kegelschnittes Ka betrachten. 



Anf dieselbe Weise wie A bestimmt man dann auch die beiden 

 Erzeugenden B imd C. 



Die angefiihrte Lósung bleibt auch anwendbar, wenn die wind- 

 schiefe FJáche F durch zwei Leitcurven (B) und (C) und 

 einen Richtungskegel (k) gegeben ist. 



In diesem Falle tritt an Stelle von Ka ein Kegel zweiten Grades 

 Ka ein, welcher (A) lángs der zu P parallelen Mantelgeraden P' 

 osculirt. 



Das Hyperboloid H« soli nun die Flache F langs P beriihren 

 und K„ zum Richtungskegel haben. Legen wir also durch P' zu den 

 Tangentialebenen B, C Parallelebenen, so treífen dieselben K^ in je 

 noch einer Mantelgeraden und die Tangentialebenen des Kegels lángs 

 dieser Mantelgeraden schneiden die zur asymptotischen Ebene A pa- 

 rallele, den Kegel K^ lángs P' beriihrende Ebene in den Geraden 

 Pj resp. Py. Legen wir durch b die Parallele zu P/j, durch c zu P^ 



so treffen sich dieselben im Mittelpunkte m^ von H^. Die Erzeugende 

 A von H ist nun symmetrisch zu P in Bezug auf m^^ 



Hat man die Erzeugenden A, B, C von H construirt, so lásst 

 sich einfach die Erzeugende X durch jeden beliebigen Punkt x von 

 P auf bekannte Art darstellen ; vortheilhaft folgendermassen. Das 

 Hyperboloid H wird aus irgend einem Punkte h (dem Projections- 

 centrum) durch einen Kegel 2. Grades K projicirt. Aus dem proje- 

 ctivischen Zusammenhauge zwischen dem Ebenenbtischel ABC . . . 

 und der Punktreihe ahc . . . stellt man den Beriihrungspunkt e der 

 Ebene (hP) und die Beriihrungsebene X im Punkte x dar. Der Kegel 

 K ist durch die Mantelgerade (he) und durch die Beriihrungsebenen 

 (h . A^ P, C, P) vollstándig bestimmt, man kann also die Ebene (hX) 

 linear construiren; hiemit ist auch X als Schnitt der Ebenen (hX) 

 und X gefunden. Bei der Durchfiihrung dieser Construction hat man 

 also blos eine Pascalgerade und einen Brianchonpunkt aufzufinden,') 



^) Wenn fiir eine vorliegende Darstellung von H etwa die Ebene C selbst 

 durch's Projectionscentrum h geht, also mit [hP) zusammenfállt, so kennen mr 

 von K blos vier Berubrungsebenen und siud nicht im Stande ohneweiters die 

 projicirende Ebene von X anzugeben. Wáhlen wir aber den Schnittpunkt von 



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