14 XIV. J. Sobotka 



wollen. Der Punkt u ist nun der Schnittpunkt der so ermittelten 

 Geraden (ER') mit (XR). Bei dieser Annahme haben die beiden pro- 

 jectivischen Strahlenbiischel u . ah c . . , und u . a'h'^c' ...^u. .ďb'ď. . . 

 den Strahl (RR') entsprechend gemein, sie erzeugen somit einen 

 Ebenenbiischel 1. Ordnung, dessen Axe, wie einleuchtend die Gerade 

 ux ist. Es ist also ux die gesuchte Erzeugende X selbst. 



Es wurde hier die durch die Punktreihen abc . , .~/\ ďh'c' . . . 

 erzeugte Fláche F behufs Bestimmung des Osculationshyperboloides 

 H durch eine andere Fláche 3. Grades F^ ersetzt, diejenige námlich 

 welche von den Punktreihen ah^c^ ... A a'h'c' . . . erzeugt wird, und 

 man hat sodann die Doppelgerade X von F„ ermittelt. 



Handelt es sich blos darům das Osculationshyperboloid H 

 in vorliegendem Specialfall durch irgend drei Erzeugende einer 

 Regelschar zu bestimmeu, ermitteln wir bekanntermassen die Erzeu- 

 gende A durch a\ die Gerade S' ist eine zweite Erzeugende und 

 die dritte Erzeugende ist die Doppelgerade von F, welche durch den 

 weitern Schnittpunkt von S mit icw' geht und in der Ebene {tíďo) 

 enthalten ist. Der Kegelschnitt K^ welcher /S in ct osculirt und nebst- 

 dem durch o und w'' geht, gehort dem Hyperboloid H an. 



Bemerkung. Es seien 1, 2, 3, 4 vier Punkte ; wir legen durch 

 1, 2, 3 einen Kegelschnitt S und durch 4 eine Gerade i?, projiciren 

 die Punkte 1, 2, 3 von 4 aus auf S' nach 1', 2', 3' und schneiden 

 die Seiten 23, 31, 12 des Dreieckes (123) mit R beziehungsweise 

 in den Punkten 1", 2", 3". so treffen sich die Geraden PÍ", 2^", 

 3'3" in einem Punkte v auf dem Kegelschnitte S. (Man vergleiche 

 Jacob Steiners gesam. Werke herausgeg. von K. Weierstrass 1881. 

 I. Bd. S. 178, 12. Lehrsatz). 



Jeder Kegelschnitt in dem durch die Punkte 1, 2, 3, 4 be- 

 stimmten Kegelschnittbiischel 2 trifiPt S ausser in 1, 2, 3 in einem 

 Punkte und R ausser in 4 gleichfalls in einem weitern Punkte; jene 

 vierten Schnittpunkte der Kegelschnitte von Z mit S bilden eine 

 Punktreihe, welche projectivisch ist mit der durch die Schnittpunkte 

 der Kegelschnitte von E auf R erzeugten Punktreihe. Zu dem Kegel- 

 schnittbiischel gehoren auch drei Geradenpare, welche auf S die 

 Punkte r 2', 3', auf R die entsprechenden Punkte 1", 2", 3" der 

 projectivischen Punktreihen bestimmen. Beide Punktreihen werden 

 von v aus durch zwei Strahlenbiischel projicirt, welche identisch 

 sind, da sie die drei Strahlen 1'1", 2'2", 3'3" entsprechend gemein 



