XVII. Ant. Pleskot 



Poroviiáme-li nyní řady a) a /3), nalezneme: 

 F\gos (p) =z Q„_i(cos cp) 



t. j. 



(2) P'„(cos (p) = 2AoA,í_i cos n — 1 ^ -f- 2XiXn-i cos n — 3 (p 



-\~ 2l^ln-z COS n — 5 9? -f~ • • • 



Eovnice 2) vede již k řešení předložené úlohy. 

 Položme v rovnici 1) 



Tím se promění v následující: 



(3) Pn{n- + (1 — ^í') COS ^) -^CnA_FXu)Y{\ — iC^f cos %. 



Kdybychom v této rovnici kladli w zr O a rozvinuli pak levou 

 stranu ve známou řadu postupující dle kosinusů násobného úhlu fp^ 

 tu bychom mohli stanoviti porovnáním levé a pravé strany rovnice 3) 

 jen některé koéfficienty Cnh a sice ty, pro něž in -{- ^) jest číslem 

 sudým. 



Můžeme však jednoduchým obratem určiti koéfficienty Cnh at 

 (nA^h) značí číslo sudé neb liché. 



Rovnici 3) derivujeme dvakráte dle u. Prvým derivováním na- 

 lezneme : 



2wPM(tí^ -|- (1 — ?í^) cos fp){\ — cos 9?) 

 : 2^ Gni. COS li<p \P^^\u) P^ (u) ( I -u ^y — uk (1 — iť^f-^P!^ (u)yi 



Derivujíce ještě jednou, nalezneme: 



4:u\i — cos9))^Pm(w^-}-(1 — w*) cos 9) 

 + 2(1 — cos (p) P^{u^-i-{^ — ^''') cos <p) = 



k—n 



(4) 2^^"^ cos kcp [lt+'\u)IÍ(u) (1 - u"")' -f (P^'+\w))X 1 — it-r 



k—o 

 — 2ku{l - U^^f-^Ptiu) P'J-\u) — k{l — w2)*-l(Pn(w))' 



-I- 2n-'kik-A)il - u-')^-%Pt(u)y — 2u7c(l — wy-ip*(w)P*+'(w)]. 



