Vyvinutí funkce P„ (cos y). 5 



Rovnice předcházející platí pro jakékoliv u; položme tudíž 

 Dle základních vlastností sférických úkonů platí: 



takže pro n -|- ^ liché jest PniO) = 0. 

 Bude tedy vždy platná rovnice: 



PÍ(0)PÍ+\0) = 0; 



neboť není-li n-\--k liché, jest n-\-k-\-l liché a naopak. 

 Dosadíme-li tudíž ?* r= O do rovnice (4), obdržíme : 



(5) ^Cn,[(IÍtJf-i- FtQ)Plt) - KPX^)n cos h^ 



= P'm(cos (p) {\ — cos (p). 



Hodnotu pravé strany předložené rovnice ustanovíme v jiném 

 tvaru, tímže P'„(cos g?) nahradíme řadou určenou rovnicí 2); pak 



P'„(cos 95) (1 — cos gj) '^ ^l^kn-i cos w — 1 9P + 2A,Am_2 cos n — 3 9? 



-f- 2X^ln-i cos W — ^ fp-\- 2l^Xn~i cos W — 7 qp -|- • • • 



— 2A„A„_.i cos 11 — \ (p cos (p — 2AiA„_2 cos n — 3 9 cos <p 

 — 2I2K-Z cos n — b (p cos (p — 2X^Xn-i cos n — 1 (p cos fp — ... 



Součin kosinů v předcházející relací proměňme v součet kosinů ; 

 tím promění se pravá strana poslední rovnice v řadu, postupující 

 dle kosinů násobku Kp. 



(6) P'„(cos qp)(l — cos 95) =: — IqK-1 cos n(p -\- 2AoA„_i cos n — I9 

 — (AoA„_i -\- kyXn-^i) cos n — 2(p -{- 2Ai A„_2 cos w — 3 9) 



— {XyK-2, 4- K^n-z) cos n — 4^) -f . . . 



— {Xk~\K-k + h+\K-h-'i) cos n — 2k(p 

 -\- 2hK-h-\ cos (w — 2/c -^ 1)9? — ... 



Porovnáním řad (5 a 6) soudíme, že pro koéfficienty tvaru 

 C*iw-23 platí relace: 



7«) q«_2,[(p::+'7oD^ + pr'WPr''+'(o) ~{n- 2q) [p:-'\om 



ZZ (Agr_iA„_g -|- AqAn — q—l) 



