Uber Bei-ahrungscurven der Schraubungsregelflachen. 17 



z bekommen wir ebenso eine hyperbolische Involution von Punkten 

 ^1^2 5 ^'i^'2i ^oK '• • '• ^it den Doppelpunkten z, h^ und den beziigli- 

 chen Halbirungspunkten 6, 6', b^ , . , . Alle Punkte der Involution 

 auf A erscheinen als Schnitte des Strablenbiischels, welches die 

 Reihe der entsprechenden Punkte o^, o^ , . . . auf dem zu A norma- 

 len Durchmesser A' der concentrischen Kreise von d aus projiciii;. 

 Fůr die involutorische Punktreihe auf .B erhalten wir desgleiclien ein 

 Strahlenbúschel aus d, welches die Reihe der entsprechenden Punkte 

 auf dem zu B normalen Durchmesser B' projicirt. Da die einander 

 entsprechenden Punkte auf A' und B' zwei congruente Punktreihen 

 mit z als gemeinschaftlichem Punkte bil den, so sind die involutori- 

 schen Punktreihen auf A und B perspectiv und zwar in doppelter 

 Weise, was daraus folgt, dass die beiden Punktreihen auf A' und -B' 

 in Bezug auf z symmetrisch sind. 



Es bilden somit alle Secanten der Curven Q, C"o, G^ , . . . , die 

 durch ihre Schnittpunkte mit zwei beliebigen Strahlen durch z be- 

 stimmt sind, zwei Strahlenbiischel 1. Ordnung. Die Mittelpunkte e, e' 

 dieser Btischel liegen selbstverstándlich auf (ao^o) ^^^ werden von 

 einander durch a^bQ harmonisch getrennt. 



Die Verbindungsstrahlen (a6), (ďh')^ (<^o^o) ^ • • • bilden ebenfalls 

 ein Strahlenbiischel 1. Ordnung, dessen Mittelpunkt t^ der Schnitt 

 von (ířo^o) J^it der Tangente T in d a,n G^ ist, wie aus Frúherem 

 folgt. Der Punkt t^ ist zugleich der Mittelpunkt von ee\ Dies ist zu 

 sehen, wenn wir das Vierseit («i&i) (^2^2) (^^2) (^2^1) betrachten; 

 in demselben halbirt die Gerade (ab) zwei Diagonalen a^a^,, b^b^, sie 

 halbirt also auch die dritte Diagonále ee', einem bekannten Satze 

 zufolge. 



Das eben gewonnene Ergebnis gilt fiir zwei beliebige Strahlen 

 i4, jB, also gilt es auch fiir zwei consecutive, In diesem Falle geht 

 (ao^o) in die Tangente T^^ iiber und es ist a^ identisch mit einem 

 der Punkte e, ď ; der gemeinschaftliche Schnittpunkt t der Tangenten 

 an alle Curven in den beziiglichen Punkten a^, a^, a\, a\ ,.. . ist 

 identisch mit dem zweiten.^) 



Aus der Construction des Punktes d ergibt sich, dass die 

 sámmtlichen Schnittpunkte der Tangentenpaare der Curven C^ ,. . . 

 in Punkten auf Strahlen durch z eine sogenannte Cissoide von Dio- 

 cles bilden. 



1) Cf. Caři Pelz : Uber die Focalcurven des Quetelet iu den SitzuDgsber. 

 d. k. Akad. d. Wissensch. zu Wien. Bd. LXXXH. 2. Abth. S. 1216. 



Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. 1893. ^ 



