18 XXII. J. Sobotka 



(Fig. 6.) 10. Es seien o, o' zwei Punkte des Kreises O auf 

 den Durchmesserem A' resp. B'. Die Geraden {od)^ {o'd) schneiden 

 die zu A', B' normalen Durchmesser A^ B beziehungsweise in den 

 Punkten a^, \ der Curve Cq. 



Betrachten wir das Vierseit {do) {do') {oo') {ci^hj)- Die Verbin- 

 dungsgeraden irgend eines Punktes mit den Gegeneckenpaaren eines 

 Vierseits bilden drei Paare einer Strahleninvolution. Bezeichnen wir 

 die Gegenecke von d in dem hervorgehobenen Vierseit mit z, so sind 

 somit AB\ A'B^ {zí) {zd) drei Paare einer Involution. Die zwei er- 

 sten Strahlenpaare besitzen gemeinschaftliche Winkelhalbirenden Z^, 

 ^25 welche also die Doppelstrahlen der Involution darstellen. Ist P^ 

 die Senkrechte durch z zu {zd), so ergibt sich, dass ^ {izo) = 

 ^ {B\ P), woraus folgt, wenn der Schnittpunkt von {oo') mit P durch 

 p bezeichnet wird, op = io' oder oi = po'}) 



Die eben durchgefuhrte Erwagung lásst sich sogleich zur Tan- 

 gentenconstruction von Cq benůtzen. 



Denn fur den Fall, dass o, o' unendlich nahé an einander růcken, 

 geht (o o') in die Tangente T^ an den Kreis O und {a^h^ in die 

 Tangente T^ der Curve Cq in a^ iiber. 



_Man_hat also bloss T^ mit Pq in p zum Schnitte zu bringen 

 und oi=:po auf Tq aufzutragen ; die gesuchte Tangente ist (*«i).^) 



Ist % der Schnittpunkt von A mit (tq, so erhált man den 

 Punkt i auch als den Schnittpunkt von T^ mit der durch z zu Ta^ 

 gezogenen Parallelen. 



(Fig. 7.) 11. Die soeben abgeleitete Tangentenconstruction wird 

 auch durch die folgende Uiberlegung geliefeit. 



Ist a\ der zu a^ consecutive Punkt von C^, so ist durch {da^), 

 {da\), Tq ^ {oo') als Tangenten und z als Brennpunkt ein Kegel- 

 schnitt J bestimmt. Ein bekannter Satz besagt, dass man das Stiick, 

 welches auf einer beweglichen Tangente eines Kegelschnittes durch 



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^) Aus dieser Betrachtung ergibt sich, wie man die weitern Schnittpunkte 

 einer durch a^ gelegten Geraden G mit Cq ermittelt. Man sucht die Schnittpunkte 

 von O mit der Hyperbol, welche durch o geht und G, Pg zu Asymptoten hat. 

 Die Verbindungsgeraden dieser Schnittpunkte mit d bestimmen aut G die weite- 

 ren Punkte der Curve Cq. Solíte man die Schnittpunkte einer willkilrlichen Ge- 

 raden F mit Cq bestimmen, so wúrde man die zu F perspectiven Strahlenbúschel 

 von d und z aus bilden, das letztere um z eine Vierteldrehung voUziehen lassen, 

 worauf es mit dem ersteren einen Kegelschnitt erzeugt, der O in vier Punkten 

 schneidet, deren Verbindungsgeraden mit d auí F Punkte von Cq bestimmen. 



^) Cf. Chr. "Wiener: Lehrb. d. darst. Geom. II. Bd. 1887, S. 503. A. Mann- 

 heim: Cours de géom, descr. 2. Aufl. S. 382; u. A. 



