Tiber Beriihrungscurven der Schraubungsregelíiáchen. 21 



Wáhlen wir einen dieser Schnitte (a)^^ so erkennen wir, dass 

 durch die ortliogonal projicirende Gerade von z, durch (a)^ und 

 durch die in der Projectionsebene liegende Curve C^ eine wind- 

 schiefe Fláche geht, deren Richtungskegel ein gleichseitiger Rota- 

 tionskegel ist mit zur Projectionsebene normaler Axe. 



Die Tangente T^ in a^ an C^ ist demnach die Spur der Tan- 

 gentialebene in a^ an die windschiefe Fláche. Die durch a^ gehende 

 Erzeugende U dieser Fláche hat ihre Projection in (za). Die Tan- 

 gente in a an den Kegelschnitt (a), welche nach Friiherem ohne- 

 weiters construirt wird, triíft (zd) im Punkte n^ den man auch ein- 

 fach als Schnitt der Polare von a in Bezug auf Gq mit zd erhált, 

 und {naj) ist die Spur der Tangential ebene fůr die windschiefe Flá- 

 che im Punkte auf f/, dessen Projection a ist, (za) ist die Proje- 

 ction der Beruhrungsebene im Schnitte von U mit der projicirenden 

 Geraden durch z, und die Spur der asymptotischen Ebene durch U 

 ist normál zu (za). Wir kennen somit in drei Punkten von U die 

 Tangentialebenen an die windschiefe Fláche, konnen deshalb die Tan- 

 gentialebene in a^ leicht ermitteln. Schneiden wir die Spuren der 

 Tangentialebenen durch U mit der Senkrechten A' durch z zu (za), 

 so erhalten wir eine Punktreihe, welche perspectiv und áhnlich ist 

 zu der Reihe der Orthogonalprojectionen der entsprechenden Beriih- 

 rungspunkte auf U. Daraus folgt, wenn (na^) die Gerade A' in n\ 

 trifft, dass die Tangente T^ in a^ an CJ, parallel ist zu (an\). 



(Fig. 10.) Sind Oj, Oo die Schnittpunkte von A' mit O, so ist 

 fiir den Fall, dass cž auf O liegt, Q eine Strophoide, wie wir wissen ; 

 der Punkt a liegt da auf der mit T bezeichneten Tangente von G^ 

 und unsere jetzige Construction ergibt, dass die Tangenten T^, T^ 

 in den Punkten a^, a^ parallel zu (o^á) resp. (02 a) sind. 



14. Es seien fiir den Fall der Strophoide a^^a^, a\a\ die Pun- 

 ktepaare auf zwei consecutiven Strahlen J, A' durch z; a, a! seien 

 wieder die Halbirungspunkte von a^a^ resp. a\a\. 



Errichtet man in a die Senkrechte iV^ zu -á, so ist der Fuss- 

 punkt der Senkrechten von d auf Na nach Friiherem der Schnitt- 

 punkt t der Tangenten T^^T^. Man gelangt also zu dem Ergebnis, 

 dass die Cissoide von Diocles, welche wir als den geometrischen Orti 

 des Punktes t erkannt haben, die Fusspunktcurve der Parabol O ist, 

 welche T zur Scheiteltangente und z zum Brennpunkte hat. Weiter 

 ist za^.za^-z=.za\.za\ zrzá^; es liegen demnach die Punkte a^^ o^ 

 a\.^ a\ auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt sich auf Na., gleichzei- 

 tig aueh auf der Geraden iV„', welche in ď zu {a\a\) senkrecht 



