Uber Beruhrungscurven der Schraubuugsregelfláchen. 2U 



stimmt und man ist im Stande zu irgend einem Punkte h' den ent- 

 sprechenden 6", also zu irgend einer Tangente B^ die Entsprechěn- 

 de B^ zu finden. Darnach ist y der Schnittpunkt der Tangenten an 

 die Bahncurven der Doppelpunkte fiir die Involution auf G, mogen 

 diese Doppelpunkte reel sein oder nicht. 



Dies fúhrt uns z. B. sogleich zu einer Tangentenconstructiou 

 der Curven 3. Ordnung, sowie der Curven 4. Ordnung mit 3 Doppel- 

 punkten. Úberhaupt lassen sich die Betrachtungen, welche wir im 

 Folgenden fiir unsere Curven C , . . . anstellen, zumeist auch auf die 

 allgemeinen Curven 4. Ordnung mit 3 Doppelpunkten iibertragen. 



(Fig. 14.) 20. Verbindet man irgend einen Punkt o des Kreises 

 O mit dem Doppelpunkte d von C, dann scbneidet die entsprechende 

 zu (oz) senlírechte Tangente des Kreises S den Strahl (do) in einem 

 Punkte c der Curve C. Es seien m, m! die Schnittpunkte des Strah- 

 les {do) mit dem Kreise M des Art. 7. und d„ sei der Schnittpunkt 

 von {do) mit der Polaren P des Punktes d in Bezug auf ikř, dann 

 bilden dd^^ oc zwei Paare einer Involution auf {do)^ fiir welche w, 

 mf die Doppelpunkte sind. Dreht sich {do) um d^ so beschreibt cž^ 

 die Polare P, die Doppelpunkte m, m' beschreiben den Kreis M^ der 

 Punkt o beschreibt den Kreis O und der Punkt c die Curve C. 



Die Tangenten an die Bahncurven in entsprechenden Punkte- 

 paaren bilden also auf P eine hyperbolische Involution, fiir welche 

 der Punkt d„ und der gemeinschaftliche Punkt y der Tangenten in 

 m, m' an M die Doppelpunkte sind. Den Punkt y bekommt man als 

 den Schnittpunkt von P mit der zu {do) aus z gefállten senkrechten, 

 gleichgiltig ob M reel oder imaginár ist. 



Schneidet demnach die Tangente T^ in o an den Kreis O die 

 Gerade P im Punkte jo, so hat man nur den zu p in Bezug dMÍyd^ 

 harmonisch conjugirten Punkt c^j. zu ermitteln und {c^c) ist bereits 

 die Tangente Tg in c an die Curve C. 



Projiciren wir nun das Quadrupel pc^jd^y von c aus auf T^. 

 Da {cy) als eine zu (zo) senkrechte Tangente von S parallel ist zu 

 Tq, so fállt die Projection von y ins Unendliche, woraus folgt, dass 

 die Entfernung des Schnittpunktes {TcT^) von dem Punkte p durch 

 o halbirt wird. 



Wir haben somit die Tangentenconstructiou des Art. 17. von 

 Neuem erwiesen.^) 



*) Liegt d auf dem Kreise O und ist mit Bezug auf den Schluss des Art. 

 7. der Punkt c+ von C4- der Hóhenschnittpunkt im Dreiecke dm'u', so schneiden 



