Uber Berahrungscurven der Schraubungsregclfláchen. 35 



Die Gerade, welche wir bei friiberen Gelegenheiten mit P be- 

 zeichiiet habeu, scbneidet den Kreis O in deu Punkten Oj, Og ; proji- 

 cireii wir diese Punkte von z aus, so sind die projicirenden Strahlen, 

 wie leicht zu seben, beziebungsweise senkrecbt zu den Taugenteu 

 von d zu 8 und scbneiden sicb mit ibnen beziebungsweise in den 

 Punkten s^, So ^^^ dem Kreise S^ so dass s^, Sg auf der Polare von 

 d in Bezug auf S liegen. Daraus erkennt man, dass o^, 0^ stets reel 

 sind, wenu d nicbt innerbalb von S liegt und dass es diejenigen 

 Punkte des Kreises sind, welcben durch die quadraiische Transfor- 

 mation bezúglicb des Kreises M der Punkt d entspricht. 



Der Kegelscbnitt R\ welcber O in o^ osculirt und durch die 

 Doppelpunkte d\ d" von C auf P geht, zerfállt in P selbst und in 

 die Tangente T^^ des Kreises O in 0^. Durch die besagte quadra- 

 tische Transformation verwandelt sich diese Tangente T„^ in den 

 Kegelscbnitt P'+, dessen Kriimmungskreis K,i in d aucb den einen 

 Curvenast von C ws. d osculirt.^) 



Der Kegelscbnitt P'4- geht durch sdie drei Doppelpunkte cř, ď 

 d" von C und natiirlicb aucb durch den Punkt s^. Es sind also P 

 und ip^d) Strahlen, welche je zwei gemeinscbaftliche Punkte des 

 Kegelschnittes U\ mit dem Kreise G^ verbinden; es geben hiemit 

 die Winkelbalbirenden zwischen P und {s-^d) die Richtungen der Axen 

 von P'-|- an. Diese Richtungen sind aucb durch die den Winkel {dzo-^ 

 balbirenden Geraden gegeben. Ziebt man also durch d die Gerade 

 ^, welche mit diesen Winkelbalbirenden dem Wertbe nach gleicbe, 

 dem Sinne nach entgegengesetzte Winkel einschliesst, wie die Tan- 

 gente {doS) von P'_|_ in c?, so ist diese Gerade •&■ die Axe centrischer 

 Collineation zwischen W^ und Kd-^ fiir welche der Punkt d das 

 Centrum ist. 



Aus dieser Collineation kann man den Kreis K^ einfach ab- 

 leiteu. Dem Punkte s^ des Kegelschnittes P'+ entspricht auf {ds^ 

 ein Punkt s' des Kreises Ka\ die Gerade (20^) beriihrt R'j^ in s^, 

 wie aus unserer Transformation zu entnebmen. Bezeichnen wir den 

 Schnittpunkt dieser Beriihrungsgeraden mit der Collineationsaxe O' 

 durch M, so geht die Tangente Ts' des Kreises K^ im Punkte s' 

 durch u undj da sie úberdies gegen {ds^ unter gleichem Winkel 

 (mit entgegengesetztem Sinne) geneigt ist wie ido^^ so ist sie dadurch 

 gleichzeitig mit dem Punkte s' bestimmt. Hiedurch ist aucb der 

 Kreis Kd vollkommen bestimmt. 



O Gleiches wtirde bezuglich der Doppelpunkte ď, cí" gelten. 



