Uber Berilhrungscurven der Schraubungsregelfláchen. 37 



Au3 diesel" Relation lásst sich nim q ausserst einfach construiren.^) 

 Dieselbe gilt fur alle Curven C, C\ C^,.... 



Fiir die Curven 3. Ordnung, welche entstehen, wenn d auf O 

 liegt, ist daraus Q=^g^ also der Krúmmungsmittelpunkt o^ ist der 

 zweite Schnittpunkt der Normále in d an den betreífenden Curven- 

 ast mit dem Kreise O. 



24. Bei der Behandlung der in Rede stelienden Curven ist der 

 Fall kelner eingehenderen Besprechung unterzogen worden, welcher 

 eintritt, wenn der Kreis O in die doppelt zu záhlende unendlich ferne 

 Gerade der Ebene degenerirt und die Curven C,... G^ Projectionen 

 der Beriihrungscurven auf normalen Helikoiden sind. 



Es ist aber jede derartige Curve C,... bekanntlicli eine Pascal- 

 curve, deren Eigenschaften bereits oft und vielseitig behandelt wor- 

 den sind. Man kann die Tangenten- und Kriimmungsmittelpunkts- 

 constructionen bezíiglich dieser Curven aus ihren Eigenschaften, die 

 sie als Fusspunktcurven oder cyciische Curven besitzen, auf kurzem 

 Wege ermitteln. Wir wollen nur noch erláutern, wie sich dieselben 

 durch Specialisirung der friiheren Ableitungen ergeben. 



Die Curven C... in allgemeinem Falle wurden als Curven 4. 

 Ordnung mit 3 Doppelpunkten auch durch ein Strahlenbiischel mit 

 einer zu ihm projectiven Tangenteninvolution auf dem Kreise S er- 

 zeugt, was in Form einer Transformation ausgedriickt, jeder Tan- 

 gente X von S einen auf ihr liegeiiden Punkt x der Curve C zu- 

 ordnet, wie in Art. 7. entwickelt worden ist. 



Beriihrt nun X den Kreis S im Punkte s und construiren wir 

 denjenigen Kegelschnitt K^^ der die Seiten des Doppelpunktdreieckes 

 dďd" und nebstdem die Tangente X in s berůhrt, so entsprechen 

 den Tangenten dieses Kegelschnittes durch die erwáhnte Transforma- 

 tion Punkte der Geraden T^,, welche C in x beriihrt; construirt man 

 denjenigen Kegelschnitt iTg, welcher zwei Seiten, — wir nehmen, um 

 in allen Fállen die Construction durchfiihren zu konnen, die in d 

 sich schneidenden Seiten — des Doppelpunktdreieckes dďd^^ beriihrt 

 und den Kreis S im Punkte s osculirt, so entsprechen den Tangen- 

 ten dieses Kegelschnittes Punkte, welche ebenfalls auf einem Kegel- 

 schnitte K^ liegen, der durch zwei der Doppelpunkte — der An- 

 nahme gemáss durch cž', cž" — geht und die Curve C im Punkte x 

 osculirt. 



1) Cf. Chr. Wiener: Lehrb. d. darst. Geom. II. Bd. S. 504. 



