Theorie der Euler'8chen Functionen. 3 



11. 



Zweite Form als Nullwerte hdherer Ableitungen. 



Das regelmássige Auftreten der Binomial-Coěfficienten in den 

 entwickelten Formen (1) und (2), sowie der Umstand, dass sowohl 

 die Potenzen der Variabelen x als auch die Euler'schen Zalen als 

 Nullwerte von Diflferentialquotienten angesehen werden konnen, lassen 

 beide Functionen unschwer als Ergebnisse der Anwendung des L e i b- 

 nitz'schen Satzes auf Producte zweier Functionen erkennen; es ist: 



E(a;, »«) = 2|i)»j;;-pj^ (3) 



E'(^,») = íz):e-Í^Jl (4) 



Diese Darstellungsform ůndet sich auch bei den von C. Raabe 

 creirten J. Bernoulli'schen Functionen, wie es O. Schlómilch nach- 

 gewiesen hat und fúhrt zu den einfachsten Ableitungen der Func- 

 tional-Eigenschaften. 



III. 

 Eigenschaften. 



1. Es ist 



2íc"' — 2D':e-^ \ = 2D"' , /, — 

 /o ^''+1 Jo 



oder 



E(x + 1, m) + E(íc — 1, 7w) = 2íc'« (5) 



ferner folgt aus (4) 



2E'(í», m) = E(£C + 1, m) — E{x — 1, m) . . . . (6) 

 Aus der Identitat 



^ "+ IJo 

 entsteht 



E'(íc + 1) + E'(cc _ 1) = (íc 4- 1)« — (x—1)^ . . (7) 



Fiir íc z= O reduciert sich (3) und (4j auf 



(— lyE^ m gerade (8) 



O m ungerade 



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