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XXIII. Franz Rogel 



Die alternierende Potenzreihe der ungeraden, sowie die der 

 geraden Zalen unter einer gegebenen Grenze lasst sich demnach in 

 einen Ausdruck transformieren, dessen hauptsáchlicher Bestandtheil 

 eben diese Euler'sche Fuuction erster Art ist.^) 



Umgekehrt kann diese Function in dem Falle eines geraden 

 Argumentes stets durch eine endliche Potenzreihe gerader oder tm- 

 gerader Zalen ausgedriickt werden. 



Eine gewisse Áhnlichkeit mit der Bernoulli'schen Function 

 tritt auch hier deutlich zu Tage, da dieselbe bei ganzem Argumente 

 ebenfalls in eine Potenzreihe transformirbar ist. Bekanntlich entstand 

 sie durch Verallgemeinerung der Summenformel der Potenzreihe der 

 natiirlichen Zalen. 



Bei einem A: <; m ist die linksseitige als Sumrae der rechts ste- 

 henden Keihe, und bei k'>tn das rechtsseitige Polynom als Šumme 

 der Potenzreihe anzusehen. 



Bei ungeradem, gebrochenen oder negativen k hat das Polynom 

 in (17) und (18) an u. fiir sich genommen zwar noch immer eine 

 Bedeutung, nicht aber die Potenzreihe. 



Ebenso muss bei der ursprúnglichen Bedeutung von m als 

 Wiederholungs-Exponent, dasselbe stets als 'positive^ ganze Zal vor- 

 ausgesetzt werden; fiir andere Werte verlieren die Gleichungen (17) 

 und (18) jeden Sinn. 



Wenn E aus (17), (18), (17') und (18') bestimmt wird, so ergiebt 

 sich fiir ganzzalige Argumente eine dritte Form dieser Function, namlich 



E(2A, m) 



(_ 1)^-12 1 !». _ 3™ -^ 5n» [- . . . 



m 



+ (— \y-\2h — 1)™ — tzll^E^ m gerade ' í^^) 



E{2h + 1, m) iz: . 



(— l)'^-i2(l'» — 3™ -f- S"* h • • • 



-f- ( — 1)*~^(2^ — 1 )™) m ungerade 

 ^(-_ i)A-i2(2'» — 4"* + — . . . 



+ ( — iy-^(2h))m^ m gerade 

 (— 1 )'^-i2(2'» — 4"* -1 ... (19/) 



_|_ (_ iy-i(2hy 



m — 1 

 (-1)~ 



Em), m ungerade 



') Diese Formeln wurden vom Verfasser in den „Ableitungen von Identi- 

 táten." (Archiv f. Math. u. Phys. (2) T. X. p. 209. íF.) mittelst trigonometrischer 

 Functionen entwickelt. 



