12 XXIII. Franz Rogel 



f{u)-v:'-— [z] E.u-^^Jr (4)^4^'™-'— • • . 



d. i. die Euleťsche Function erster Art, m-ter Ordnung. 



Dass dies die einzige algebraische ganze Function ist, welche 

 der gegebenen Functionalgleichung Geniige leistet, folgt auch aus 

 dem Umstande, dass eine zweite Losung íp{x) sofort zu 



fiu-\-l)-ip{u^l) = -[f{u-l)-<p{u-l)\ 



fuhren wiirde, woraus ersichtlich, dass f{u) z=. (p{u) sein miisse. 

 Die allgemeinste Losung wird die Form 



E(w, m)-\-g{tc) 



haben, wo letztere Function der Bedingung 



9(u-{-l)-{-g(u-l)-0 



geborcht, also eine transcendente Function mit der Periodě 4 ist. 



h) Die Aufsuchung der der Gleicliung (7) geniigenden Func- 

 tion / kann auf dieselbe Weise vor sich gelien. Hier ist 



_ (u-\-ir—(u — 1)- 1 .. 



Uo-— 2 , j^U, 



lm\(u-\- 1)'^^ — (u— 1)'^-'' , ^ 

 ^V) 2^^ ''^^^ 



was in (34) nebst h-=z\ eingesetzt, nach Vereinigung der Potenzen 

 von u-\-\ und jener von u — 1 zu je einer Gruppe unter Voraus- 

 setzung eines algebraischen ganzen f{u) ergiebt 



f{u) = 4" [E(m + 1, m) — E(w — 1, m)] = E'(w, m). 



Dass dies die einzige algebraische Losung ist, wird wie im 



Vorhergehenden bewiesen. 



Das Resultat wird in seiner allgemeinsten Fassung auch hier 



lauten 



E'(w, m) + g{u\ 



wo g{v) die friihere Bedeutung hat. 



