Theorie der Euleťschen Functionen. 23 



Eigenschaft ist in der Formel (51') ausgedriickt ; sie zeigt, dass der 

 beliebige 7-^" Diíferentialquotient einer der Functionen gleichbezeichnet 

 ist mit einer gleichartlgen Function, deren Ordnung um r Eiuheiten 

 niedriger ist. 



Wie aus den Forraeln (8) bis (14) und (37) bis (40) zu ersehen, 

 ist die Wert- und Zeiclienbestimmung am einfachsten bei ganzzaligen 

 Verauderlichen, weslialb sie bei der Untersuchung bevorzugt wurden, 

 was die Einfiihrung der abkiirzenden Bezeichnung 



„/c'« Felď' 



fiir das Intervall von x-zzk — 1 bis x^k (k ganzzalig) notwendig 

 machte. 



Aus dem sich hiedurch ergebenden Verlauf im 1. und hiemit 

 im 0'^° Felde, lassen sich dann mit Hilfe der characteristischen 

 Eigenschaften (5) und (7) unschwer Schliisse beziiglich des weiteren 

 Verhaltens ziehen. 



A. Functionen erster Art. 



Entgegengesetzt gleichen Argumenten entsprechen gleiclie E2« 

 und entgegengesetzt gleiche E2W-1-1. 



Als rationale ganze Function ist E zwischen endlichen Grenzeu 

 endlich und stetig, daher gilt 



E(íc -\-h ^ m) — E(íc , m) zu h'mE{x -\- 0h , m — 1) , 

 O<0<1 



Speciell íiir m zz: 2w , cc 1:= 1 , O <; A <; 1 ist 

 E(h-]-l—h, 2n) — E{h , 2w) := 2n{l — h) E(/i, , 2w — 1) 

 und wegen 



E(l, 2n) = h^ = h-{-0^{\-~h), O<0i< I 



E(h , 2w) = — 2n([ — h) E{\ ,2n—\)\. . . (62) 

 ferner ist 



E(0 -f ^1 , 2n—l) — E(0, 2n — \) = {2n — \)\ EQi^ , 2n — 2) 

 /Í2 — 0^\ , O < 02 < 1 



und da E(0, 2n—í)z=zO 



E{h^ , 2n~\)— (2« — \)\ E{h^ , 2n — 2) . . (62') 



