26 XXIII. Franz Rogel 



Dies kann in dem einzigen Satze zusammengefasst werden: 

 „Wenn m ^ /*, mod 4, í*^0, so ist E^ in denFeldern 

 ít + 4?-undft-j-4r-[-l, r zzzO^ 1, 2, ..., sowie vom 3. Felde 

 angefangen auch an den Grenzen derselben sicher 



>0 (65) 



Wegen DEm = íííE^-i nimmt E in den Feldern ft -|- 4r — 1 und 

 ft -|- 4?- iiberhaupt zu, und speciell in den Feldern ^ -f- 4r im Gebiete 

 des Positiven. 



Ferner folgt aus obiger Tabelle noch wegen 



Z)2E=:?wm— 1E^2, 



dass D'^E in den nicht bezeichneten Feldern ^ -{- Ar -\- 2 undj 

 ft-j-4r-|-3, dereii Vorzeichen unbekannt sind, stets ^O ist; dera-j 

 nach wáchst Z>E bestándig und kann daher E innerhalb dieser 

 Felder hochstens e i n Minimum besitzeu, welches sich, da DE in den 

 Feldern /*-l-4?'-|-3 positiv ist, notwendig in den Feldern fi-j-4r-l- 2 

 befinden muss. 



Wenn aber dies der Fall ist, so kann in dem Felderpaare 

 ^-\-4:r-\-2 und ju. -(- 4r -[- 3 moglicherweise ein reelles Wurzelpaar 

 vorkommeu. Ist E„j i^u -\- 4r -{- 2) <: O, so liegt in je einem der Felder 

 fi-{-ár-\-2 und ^~{-ár-\~3 bestimmt eine und nur eine Wurzel; 

 wenn dagegen dieser Wert >0 ist, so sind in dem Felde (i-{-4r-\-2 

 entweder zwei oder keine Wurzeln vorhanden. 



Seien nun x^ <; x^ ein Paar, der in genannten Feldern immer 

 nur paarweise auftretenden reellen Wurzeln (welche auch ein- 

 ander gleich sein konnen), liegend zwischen den ganzen Zalen g und 

 g-\-2, so ist E(^) > O und E{g + 2) > O, mithin ist E von cc =: ^^ 





bis xzizXq positiv, von da an bis x:=x^ negativ und von 



bis íc =: ^ -|~ 2 wieder positiv. Zufolge (64) ist dann auch E{x-\-4r):>0, 



wenn g'^sc<^XQ oder cc^ ■< íc ^ ^ -|- 2. 



Die einzigen drei Fálle, in welchen allgemein Wurzeln in 

 ausser den beiden ersten liegenden Feldern nachgewiesen werden 

 konnen, sind die folgenden. 



Es ist 



E(l, 4w + 3<0 zufolge (11) und 



E (2, 4w -j- 3 > O zufolge (19) ; ferner sind Ein+2 und E4„+i nach 

 obiger Tabelle > O, folglich liegt zwischen x=: 1 und íc =: 2 bestimmt 

 nur eine, und nur eine Wurzel x^. 



Dann ist 



