Thcorie der Euler'8chen Functionen. 27 



E(2, 4w)<0 (13) uud E(3, 4w)>0 (37'); ferner sind E4„_i oder 

 Ein+3 und E4„|_2 nach obiger Tabelle >0, raithin liegt zwischen 

 X z=: 2 und a? rz 3 bestimmt eine und nur eine Wurzel x^. 



Ferner wáchst E4„+i ungleich rascher als 2^*»+^, mithin ist 



E4„+i(3) = 2^«+2— E4„+i 



fiir alle 7i > 1 stets negativ, daher besitzt E4n+i in den Feldern 3 und 

 4 je eine reelle Wurzel; ist n=: 1, so ist Eg (3) positiv und Eg 

 hat eine wiederholte Wurzel (ibVS) im 3. Felde. 



Ist E^ (í* -f- 4»' + 2) < O , so liegt notwendig in je einem der 

 Felder (i-\-4r -\-2 und (i -\- 4:r -\-3 eine aber auch nur eine reelle 

 Wurzel von E^; im entgegengesetzten Falle befinden sich im 

 (^ -\- 4r -\- 2y'"' Felde zwei oder keine reelle Wurzeln. 



Da fíir jedeš E eine positive Grosse g besteht von der Be- 

 schaffenheit, dass 



E (íc) > O, wenn x"^ g ist, 



so folgt, dass der Hilfssatz (65) von einem gewissen r=zr^ an gegen- 

 standslos wird, weil dann alle folgenden Felder positiv werden. 



Fiir diese obere Grenze g der reellen Wurzeln lehrt wol die 

 Theorie der Gleichungen einen angenaherten Ausdruck finden. 



Zu genaueren Ergebnissen fiihrt jedech folgende Betrachtung. 



Gesetzt, es sei E™ > O fiir eine ganzzalige Veránderliche p von 

 der Art, dass das p'^ und p + 1'^ Feld zu jenen Feldern gehort, fiir 

 welche der allgemeine Satz (65) das Zeichen unbestimmt lásst, so 

 ist zufolge der nachstehenden Skizze, in welcher Felder mit bestimmt 

 positiven Zeichen durch starke Striche liervorgehoben sind 



x=p—2 p— 1 p p+1 p-\-2 p+3 



E™+2 1 1 1 1 1 1 



E^+1 I 1 1 1 -I 1 



„ a;=:-|-p 



E„. I 1 '■ 1 1 1 1 



Eto— 1 



E^_i im r -|- 1'*" Felde > O, daher wáchst E^ von p an bis p -(- 2 

 sicher und ist daher auch im ^ -|- 1'''° Felde >• 0. In Folge desseu 

 nimmt E^-i-i im p -4- l'^"" Felde zu, aber auch im ^ -j- 2'=°, weil E„, da- 

 selbst >0 ist; somit ist E^+i im p^^'^" und p-(-2'=° Felde und 



