28 XXIII. Franz Rogel 



daher auch in den Feldern p-\-4:r-{-l und p-\-ár~\-'2, r =: 0, 1, 

 2 . . . , also in sammtlichen Feldern von p — 1*^" angefangen positiv. 



Nachdem sich diese Schliisse ins Unendliche fortsetzen lassen, 

 so folgt: 

 „Wenn E(j?, m)>-0, p ganzzalig und E (a?, m) im p — 2'^" und 



p — !'<=" Felde sicher >0, so ist E («, n)>0." . . (66) 



Fiir alle n';>m^ x'^n-\-p — m — 3 

 und fiir nzzzm x^p. 



Auf E (íc, V)z=ix augewendet, ergiebt sich, da íw=:l, ft^l, 

 somit p = 3, die fiir alle n geltende Ungleichung 



E(íc, n)>0, x-^n—l (67) 



Damit ist eine ziemlich kleine obere Grenze fiir die reellen 

 Wurzeln gefunden. Alle dieselbe iibertreífenden Argumente machen 

 nicht blos E«, sondern sámmtliche Ableitungen positiv, weil das mit 

 Z)*E„ gleichbezeichnete E„_i als obere Wurzelgrenze n — i — 1 hat. 



Selbstverstandlich ist dies nicht die thatsáchliche Grenze; es 

 werden im Allgemeinen schon etwas kleinere Werte positive Func- 

 tionswerte erzeugen. Es zeigt sich, dass bei wachsendem Ordnungs- 

 zeiger n der Unterscbied zwischen thatsachlicher und approximativer 

 Grenze immer grosser wird. 



So ist bei Eg í* + 2 = 4, E6(4) = 2(3^ — 1) — í;^ > O, und da 

 auch E5(íb)>»0, wenn íc>3, so ist 



E (í», w) > O, w ^ 6, £c ^ w — 5 . . . . (68) 



Ferner ist auch 



E,o(4) = 2(3i<'->1)-í:,o>0, 

 folglich 



E («, m) > O, m > 10, cc > w — 9 . . . (68') 

 m rz 10, a; !> 4 



Das Vorzeichen von E^ (f* + ^^^ + 2), [welcher Functionswert 

 sich laut Formel (19), (38) als Úberschuss einer Potenzreihe iiber 

 eine Euler'sche Zal darstelltj, das in dera Satze {QQ) massgebend 

 ist, wird von einem gewissen m angefangen negativ sein, weil die 

 Euler'schen Zalen rascher zunehmen als irgend eine geometrische 

 oder endliche Potenzreihe. 



