Tbeorie der Euleťschen Functionen. 29 



Durch die Uugleichungen (67), (68), (68'), welche als notwen- 

 dige Ergánzungen zum Satze (65) anzuseben sind, wird die Bestim- 

 niung der reellen Wurzeln wesentlich vereinfacht, indem nur die 

 Felder (i -{-4r ~{-l iind fi-\-4:r -\-3 unterhalb der gefundenen Grenzen 

 zu untersuchen sind. 



Die Abzálung der moglicherweise vorkommenden reellen Wurzeln 

 giebt mit Bentitzung des Satzes (65) ein Resultat, das mit dem Grade 

 der Function ubereinstimmt. 



Es hat E™, w ^ 5 genau m reelle Wurzeln ; weiters hat aber 

 mit Beachtung der noch mehr einschrankenden Ungleichungen (68) 

 und (68'): 



Eg nur 2, E, 3, Eg 5, Eg 7, E^q hochstens 6 



und allgemein fiir m>ll 



E^lioclistens m — 8 reelle Wurzeln. 



Andererseits hat, wie bereits bewiesen wurde 



Ein mindestens 4, 



'Eén+l „ 5, (w>0), 



E4n+2 » 2 und 



E4n+3 M 3 reelle Wurzeln. 



Wie schon hervorgehoben, liegen in jenen Felderpaaren 



řt + 4r -[- 2 und ft + 4)- + 3, wo E',„ (ft -f 4r -f 2) < O ist, 



zwei reelle Wurzeln so, dass sich zwischen den ganzen Zalen 

 ^-{-4:r-\-l und !i-{-4r-]-2 und zwischen (i-{-4r-{-2 und }i~\-4r-{-S 

 je eine Wurzel befindet. 



Sie konnen daher mit Hilfe der von R. Hoppe (O. Schlomilch 

 Zeitschrift III. p. 173 ff.) entwickelten Formel 



berechnet werden. 



Es bedeuten hierin a* die Wurzeln von /(a?), und ft die Anzal 

 aller a/t, welche grosser als eine gegebene Zal c sind. 



Demgemáss ist der reciproké Wert der einzigen zwischen c und 

 c' liegenden reellen Wurzel a von E^ 



