Tlieorie der Eiiler'schcn Functionen. 31^ 



Es wáchst nim E'j (x) — 2x von cc =: O bis o? =: 1 und bleibt 

 bestándig positiv, dalier nimmt auch E'3 =z3x'^ — 2 zu und zwar von 

 E'3 (0) — —E^ bis E' (1) =: -f 1 , somit besitzt E'3 (cc) e i n e aber 

 auch nur e i n e zwischen cc =: O und cc = 1 liegende Wurzel x^. 



E'4 zz: 4:X^ — 8íc verschwindet fur cc = O und hat hier sowie fiir 

 alle X zwischen O und x^ einen negativen Differenzialquotienten ; 

 es nimmt daher im Gebiete des Negativen zu bis cc =: cc^, und von 

 da a b, bis es den Wert 1 — E^ erreicht ; mithin bleibt es im ersten 

 Felde stets negativ. 



E'5 = bx^ — 20aj2-f- |g jg^ £^j^. aj — Q gieich -j- E^ und nimmt, 

 weil E'4 negativ ist, bestándig ab bis aj = l, wofiir es =: -(- 1 wird; 

 E'5 ist daher im 1. Felde eine im Gebiete des Positiven abnehmende 

 Function. 



E'g wird zufolge der Eigenschaften der vorhergehenden E' das- 

 selbe Verhalten zeigen wie E'2, und da diese Schliisse sich beliebig 

 fortsetzen lassen , auch E'„ 1.4^ denselben Gang haben, wie E'^, 



(«^5). 



Demgemáss kann behauptet werden: 



„Im ersten Felde haben E'4nH-i und E'4„_j_2 po šiti ves, £'4^ 



negatives und E4M+3 von x bis x:=zx^<^l positives, dann 



negativesVorzeichen (71) 



Folglich ist im 0-Felde E'4„+i, E'4m positiv, E'4„_]_o negativ, 

 und E'4n+3 von cc =: O bis a; == — x^ negativ und von da an positiv. 



Da E'4n+3 eine Wurzel Iíc^I <; 1 besitzt, so hat E'4w hiefiir ein 

 Minimum und E'4„-(-i ein Minimum des 1. Differentialquotienten 

 (Wendepunkt). 



Ferner ist 03 = Wurzel von E'4n und E'4n+2, folglich hat 

 hiefiir E'4«+i ein Maximum, E4W+3 ein Minimum und E4n+2 

 ein Maximum, E4n ein Minimum der ersten Ableitung (Wende- 

 punkte). 



Aus dem Verhalten im nullten und ersten Felde lassen sich 

 nun mittelst der Formel (20), welcbe zu diesem Zwecke geschrieben 

 wird 2/c fiir h setzend: 



E'(íB + 2A;, m)z=i{—lf'E'{x^ m) -f (íc -f 2^;)'" + (— 1)*íc"* 



— 2 [(íc + 2'k—2Y — 4- . . . 4- (— 1)^ (íc+ 2y^'\ . . (72) 



Schliisse auf jenes in den andern Feldern ziehen. 



Vor Allen kann behauptet werden, dass die rechts stehende 

 Potenzreihe fiir positive x stets positiv ist. 



