32 XXIII. Franz Rogel 



Denn ín dem Falle, als h g e r a d e ist, geht dieselbe auch durch 

 Summirung von positiven Ausdríicken hervor, welche aus 



(x -j- 4)™ — 2 (íc -[- 2)™ -\-<k!^:= 



— (7) (^™~^ ~ ^'"^ ^'""^ + (9 1 (^™~^ ~ ^""^^ ^'""^ + . . . . 



entstehen, wenn fiir x der Reihe nach 



£c -(- 4, aj -j- 8, .... x-\-2k 



gesetzt wird; sie ist daher ebenfalls positiv. 



Ist k ungerade, so tritt zu letzterer Potenzreihe noch ein 

 Glied von der Form 



(x -f 4r -f- 2)'" — (x-\- 4r)'« 



hinzu, welches fiir positive x immer positiv ist, womit obige Be- 

 hauptung gerechtfertigt ist. 



Ist nun (— l)*E'(/c, wi)>0, so ist es auch W{x-{-2k, m) ; 

 hieraus folgt aber: I 



E'(íc-|-4r, m)>0, wenn E'(í», m)>0, 



E'(íB-j-4r-f 2, «2):>0, wenn E'(íí;, 7n)<0. 



Wenn daher E' im ganzen p'^" Felde positiv ist, so ist es auch 

 positiv in allen (p-(-4í-)"=" Feldern; ist es dagegen im ganzen g""" 

 Felde negativ, so ist es auch in allen {q -{- 4r — 2)*=" Feldern negativ 

 (r = 1, 2, 3 . . .). 



Solche entweder nur positive oder nur negative Felder 

 sind nur noch in dem Falle mz=4n-^3 nachzuweisen. 



Es ist 



EUn+s(x-i-2) = -E,n+s{x)-\-ix-\-2r--^'-^"'+^ ■ -(720 



woraus fiir a? =: 1 folgt : 



E'4«+3(3) = 3^»+3-2?-0, 

 da 



E,„+3 (1) = 1 . . . (12). 



Nun ist (« -f- 2)'*"+^ — řc**'+^ eine stetige, mit x zugleich zu- 

 nehmende Function und stets >" 1 ; auch fiir — 1 ^ :r ■< O ferner 

 wáchst Ein+3{x) von x^x^ (das ist die zwischen O und 1 liegende 



